周期函数ではない ことの証明

質問

f[t]= Sin[t/Sqrt[2]] + Sin[t/3] は　周期函数ではない　ことの証明を願います；
g[t]=3* Sin[t/Sqrt[7]] +5* Sin[t/Sqrt[3] ] は　周期函数ではない　ことの証明を願います；

回答No.3

jcpmutura

訂正します
√2が整数でないから矛盾するのではなく√2が無理数だから矛盾するでした
√(7/3)が整数でないから矛盾するのではなく√(7/3)が無理数だから矛盾するでした

f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3)
が周期p>0の周期関数だと仮定すると
任意の実数tに対して
f(t)=f(t+p)
sin(t/√2)+sin(t/3)=sin{(t+p)/√2}+sin{(t+p)/3}…(1)
が成り立つ
(1)にt=0を代入すると
0=sin(p/√2)+sin(p/3)…(2)
(1)にt=3π/2を代入すると
sin{3π/(2√2)}+1=sin{(3π/2+p)/√2}+cos(p/3)…(3)
(1)にt=-p+3π/2を代入すると
sin{(-p+3π/2)/√2}+cos(p/3)=sin{3π/(2√2)}+1…(4)
(3)=(4)だから
sin{(3π/2+p)/√2}=sin{(-p+3π/2)/√2}
sin{(3π/2+p)/√2}-sin{(-p+3π/2)/√2}=0
2cos{3π/(2√2)}sin(p/√2)=0
↓cos{3π/(2√2)}≠0だから
sin(p/√2)=0…(5)
p/√2=nπ
p=nπ√2…(6)
(5)を(2)に代入して
sin(p/3)=0
p/3=mπ
p=3mπ…(7)
(6)=(7)だから
nπ√2=3mπ
n√2=3m
p>0だから(6)からn>0だから両辺をnで割ると
√2=3m/n
右辺は有理数だから既約分数で表されるから
3mとnは互いに素として両辺を2乗すると
2=9m^2/n^2
2n^2=9m^2
mは2の倍数だからm=2kとなる整数kがある
2n^2=36k^2
n^2=2*9k^2
nも2の倍数となって,3mとnは互いに素に矛盾するから
f(t)は周期関数でない

g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3)
が周期p>0の周期関数だと仮定すると
任意の実数tに対して
g(t)=g(t+p)
3sin(t/√7)+5sin(t/√3)=3sin{(t+p)/√7}+5sin{(t+p)/√3}…(1)
が成り立つ
(1)にt=0を代入すると
0=3sin(p/√7)+5sin(p/√3)…(2)
(1)にt=(π√7)/2を代入すると
3+5sin{(π√7)/(2√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}…(3)
(1)にt=-p+(π√7)/2を代入すると
3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=3+5sin{(π√7)/(2/√3)}…(4)
(3)=(4)だから
3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}-sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=0
2cos{(π√7)/(2√3)}sin(p/√3)=0
↓cos{(π√7)/(2√3)}≠0だから
sin(p/√3)=0…(5)
p/√3=nπ
p=nπ√3…(6)
(5)を(2)に代入して
3sin(p/√7)=0
sin(p/√7)=0
p/√7=mπ
p=mπ√7…(7)
(6)=(7)だから
nπ√3=mπ√7
n√3=m√7
p>0だから(7)からm>0だからm√3>0だから両辺をm√3で割ると
n/m=√(7/3)
左辺は有理数だから既約分数で表されるから
nとmは互いに素として両辺を2乗すると
n^2/m^2=7/3
3n^2=7m^2
mは3の倍数だからm=3kとなる整数kがある
3n^2=63k^2
n^2=3*7k^2
nも3の倍数だからnとmは互いに素に矛盾するから
g(t)は周期関数でない

回答No.2

jcpmutura

f(x)=sinx+sin{(√2)x}
が周期p>0の周期関数だと仮定した場合は
x=π/2の時sinx=sin(π/2)=1
x=-p+π/2の時sin(x+p)=sin(π/2)=1
とするため
x=0,π/2,-p+π/2
を代入すればよいので

f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3)
の場合は
t=3π/2の時sin(t/3)=sin(π/2)=1
t=-p+3π/2の時sin{(t+p)/3}=sin(π/2)=1
とするため
t=0,3π/2,-p+3π/2
を代入します

g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3)
の場合は
t=(π√7)/2の時sin(t/√7)=sin(π/2)=1
t=-p+(π√7)/2の時sin{(t+p)/√7}=sin(π/2)=1
とするため
t=0,(π√7)/2,-p+(π√7)/2
を代入します

f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3)
が周期p>0の周期関数だと仮定すると
任意の実数tに対して
f(t)=f(t+p)
sin(t/√2)+sin(t/3)=sin{(t+p)/√2}+sin{(t+p)/3}…(1)
が成り立つ
(1)にt=0を代入すると
0=sin(p/√2)+sin(p/3)…(2)
(1)にt=3π/2を代入すると
sin{3π/(2√2)}+1=sin{(3π/2+p)/√2}+cos(p/3)…(3)
(1)にt=-p+3π/2を代入すると
sin{(-p+3π/2)/√2}+cos(p/3)=sin{3π/(2√2)}+1…(4)
(3)=(4)だから
sin{(3π/2+p)/√2}=sin{(-p+3π/2)/√2}
sin{(3π/2+p)/√2}-sin{(-p+3π/2)/√2}=0
2cos{3π/(2√2)}sin(p/√2)=0
↓cos{3π/(2√2)}≠0だから
sin(p/√2)=0…(5)
p/√2=nπ
p=nπ√2…(6)
(5)を(2)に代入して
sin(p/3)=0
p/3=mπ
p=3mπ…(7)
(6)=(7)だから
nπ√2=3mπ
n√2=3m
n,mは整数で√2は整数でないから
n=m=0
だから(6)(7)から
p=0となるからp>0に矛盾するから
f(t)は周期関数でない

g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3)
が周期p>0の周期関数だと仮定すると
任意の実数tに対して
g(t)=g(t+p)
3sin(t/√7)+5sin(t/√3)=3sin{(t+p)/√7}+5sin{(t+p)/√3}…(1)
が成り立つ
(1)にt=0を代入すると
0=3sin(p/√7)+5sin(p/√3)…(2)
(1)にt=(π√7)/2を代入すると
3+5sin{(π√7)/(2√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}…(3)
(1)にt=-p+(π√7)/2を代入すると
3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=3+5sin{(π√7)/(2/√3)}…(4)
(3)=(4)だから
3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}
sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}-sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=0
2cos{(π√7)/(2√3)}sin(p/√3)=0
↓cos{(π√7)/(2√3)}≠0だから
sin(p/√3)=0…(5)
p/√3=nπ
p=nπ√3…(6)
(5)を(2)に代入して
3sin(p/√7)=0
sin(p/√7)=0
p/√7=mπ
p=mπ√7…(7)
(6)=(7)だから
nπ√3=mπ√7
n√3=m√7
n=m√(7/3)
n,mは整数で
1<√(7/3)<2だから√(7/3)は整数でないから
n=m=0
だから(6)(7)から
p=0となるからp>0に矛盾するから
g(t)は周期関数でない

回答No.1

178-tall

たとえば、
　　↓　参考 URL
など。

参考URL：

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51624657.html