合成関数の微分法を使っているようですがわかりません

質問

「一対一対応の演習・数学III（東京出版）」という問題集の１３８ページ
■６　定積分の不等式　（ロ）

0＜t＜1のとき、
∫（0からt）e^(-x^2)dx＞t*∫（0から1）e^(-x^2)dx
が成り立つことを示せ。

という問題です。解答は

f(t)=∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dx
f'(t)=e^(-t^2)-∫（0から1）e^(-x^2)dx
よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜x＜１)であるから・・・

と続いていくのですが、
合成関数の微分法を使っているらしいことはわかるものの、
それ以外はまったくわかりません。
解説よろしくお願いします。

回答No.5

R_Earl

ANo.2です。

> それから
> f(t)>0(0<t<1)
> を証明するのだと思っていたのですが、

すみません。私の勘違いです。
何故か不等号が逆にしてしまいました。
本当に申し訳ありません。

回答No.4

slimebess

0<t<1
⇒∫(0→t)e^(-x^2)dx＞∫(0→1)e^(-x^2)dx

Proof)(別解!?)

∫(0→t)e^(-x^2)dx

で、変数変換x=tyをすると

∫(0→t)e^(-x^2)dx
＝∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)tdy
＝t∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)dy

ここで
0<t<1
⇒e^(-(t^2)y^2)>e^(-y^2) (任意のy∈(0,1)に対して)
だから

[∵
0<t<1
⇒t^2<1
⇒(t^2)y^2＞y^2(0<y<1)
⇒-(t^2)y^2＞-y^2
⇒e^(-(t^2)y^2)＞e^(-y^2)
]

t∫(0→1)e^(-(t^2)y^2)dy
＞t∫(0→1)e^(-y^2)dy
＝右辺

回答No.3

okormazd

ANo.1
です。

そうでしたね。

すぐ微分できてしまうので、考えなかった。
それが中心課題とも思わなかったし。

f'(t)=G'(t)-C = e^(-t^2)-C

u=-t^2
とおくと、

f'(t) = e^(-t^2)-C = e^u-C
f''(t) = d/dt(e^u-C) = (d/du)(e^u)(du/dt) = (e^u)(d/dt)(-t^2)
= e^(-t^2)(-2t) = -2te^(-t^2)

一般に、
u=g(x)
y = f(g(x)) = f(u)
とすると、

y' = f'(x) = (dy/dx) = (d/du)f(u)(du/dx) = f'(u)(d/dx)g(x)
= f'(u)・g'(x)

というわけだが、
わかりやすくなるのかなあ。

回答No.2

R_Earl

もともとの式∫（0からt）e^(-x^2)dx＞t*∫（0から1）e^(-x^2)dxの右辺を左辺に移項して

∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dx < 0

と変形し、これが成り立つことを証明します。
∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dx < 0が正しければ
もともとの式∫（0からt）e^(-x^2)dx＞t*∫（0から1）e^(-x^2)dxも正しいですよね？

で、何度も

∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dx < 0

と書くのは面倒なので、この不等式の左辺をf(t)とおきます。

あとは0 < t < 1の範囲でのf(t)の増減を調べて、f(t) < 0であることを示します。
増減を調べるために微分しているんです。

> f'(t)=e^(-t^2)-∫（0から1）e^(-x^2)dx

f(t) = ∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dxから
f'(t)を計算する時は次のように考えます。

∫（0からt）e^(-x^2)dxは、tで微分するとe(-t^2)。
t*∫（0から1）e^(-x^2)dxに関しては、『∫（0から1）e^(-x^2)dx』が定数なので、

t*∫（0から1）e^(-x^2)dx = t * (定数)

と考えられます。
t * (定数)をtで微分すると(定数)になるので、
（g(x) = 23xをxで微分するとg'(x) = 23になるのと同じです。）
t*∫（0から1）e^(-x^2)dxをtで微分すると∫（0から1）e^(-x^2)dxになる。
よってf'(t) = e^(-t^2)-∫（0から1）e^(-x^2)dx

一回微分しただけだと、『∫（0から1）e^(-x^2)dx』という
計算できないもの（高校数学の範囲では）が混じってしまうので
もう一回微分をすることにします。

> よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜x＜１)であるから・・・

f'(t) = e^(-t^2)-∫（0から1）e^(-x^2)dxを更にtで微分します。

e^(-t^2)をtで微分すると、合成関数の微分より-2te^(-t^2)。
∫（0から1）e^(-x^2)dxは定数なので、微分したら0になります。
よってf''(t) = -2te^(-t^2)です。
このｆ''(t)についている-2tは(0 < t < 1)の範囲で負の数、
e^(-t^2)は正の数なので、f''(t)は0 < t < 1の範囲で負の数となります。
よってf''(t) < 0 (0 < t < 1)です。
つまりf'(t)は（0 < t < 1の範囲では）単調減少となります。

ついでに、f'(0) = 0なので（計算してみてください）、
f'(t)が単調減少ならf'(t)は0 < t < 1でマイナスの値をとることになります。
よってf'(t) < 0 (0 < t < 1)なので、f(t)は0 < t < 1の範囲で単調減少です。

f(0) = 0なので（計算してみてください）、
f(t)が単調減少ならf(t)は0 < t < 1でマイナスの値をとることになります。
よってf(t) < 0 (0 < t < 1)となります。

分からない部分があったら、教えてください。

お礼

解答有り難うございます。
同参考書の６４ページに
「微分と積分の関係」
というまとめがあり、
そこを見たら計算方法が載っていました。

自分の解答は計算で間違っていました。

それから
f(t)>0(0<t<1)
を証明するのだと思っていたのですが、
違っているのですか。
教えてくだされば幸いです。

回答No.1

okormazd

>よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜x＜１)であるから・・・
→よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜t＜１)であるから・・・？

∫e^(-x^2)dx=G(x)
とすると、

∫（0からt）e^(-x^2)dx=G(t)-G(0)

また、
C=∫（0から1）e^(-x^2)dx (定数です)
とすると、

f(t)=∫（0からt）e^(-x^2)dx-t*∫（0から1）e^(-x^2)dx
=G(t)-G(0)-t*C

f'(t)=G'(t)-C

G'(x)=e^(-x^2) から
G'(t)=e^(-t^2)

よって、
f'(t)=G'(t)-C = e^(-t^2)-C

f''(t)=-2te^(-t^2)

合成関数の微分法ではなさそう。

お礼

解答有り難うございます。
あと、ご指摘有り難うございました。
「よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜x＜１)であるから・・・」
ではなく
「よってf''(t)=-2te^(-t^2)＜0　(0＜t＜１)であるから・・・」
でした。

f''(t)=-2te^(-t^2)
のところは合成関数の微分法
を使っているのではないのですか
・・・？
よく分かりません。教えてくだされば幸いです。