微分方程式の解法

質問

この数日間、色々試してみたのですが、途中でつまづいてしまいました…。分かる方がいたら、是非教えてください。

(1)x^2-y^2+2xy*dy/dx=0
[初期条件x=1,y=2]

　以下、私がつまづいたところまで解いてみます。
　1-y^2/x^2+2y/x*dy/dx=0
u=y/x,y=uxとすると、dy/dx=u+xdu/dx
1-u^2+2u(u+xdu/dx)=0
1+u^2+2ux*du/dx=0
2ux*du/dx=-u^2-1
2uxdu=(-u^2-1)dx
2u/(-u^2-1)*du=1/x*dx
-∫2u/(u^2+1)*du=∫1/x*dx
　-log【u^2+1】=log【x】+C
※【　】は絶対値です。
　log【u^2+1】+log【x】=-C
log【u^2+1】＊【x】=-C
　log【u^2+1】＊【x】=loge^-C
【u^2+1】＊【x】=e^-C
　(u^2+1)x=±e^-C
　b=±e^-Cとすると
　(u^2+1)x=b
(y^2/x^2+1)x=b
ここで、初期条件x=1,y=2を代入すると
　b=5
　(y^2/x^2+1)x=5
y^2+x^2=5x　…なぜかここで詰まりました。

　最後はy=…の形にするんですよね？
　この後はどうしたらよいのでしょうか？
　あるいは、途中で間違っているのでしょうか？

(2)x*dy/dx+y=y^2logx
[初期条件x=1,y-1/2]
dy/dx+y/x=y^2/x*logx
dy/dx=y/x*ylogx-1)
dx/y=dx/x*(ylogx-1)
∫1/y*dy=∫1/x*(ylogx-1)dx
log【y】=　…　xとyが分けきれてない…。

　…と、ここで詰まってしまいました。

　ヒントだけでも結構ですので、分かる方がいたら、是非教えてください。長々と失礼しました。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

2)の参考程度に
xy'+y=y^2logx
x=e^t, logx=t
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)[1/(dx/dt)]=(dy/dt)e^-t
xy'=dy/dt
(dy/dt)+y=y^2t
(1/y^2)(dy/dt)+(1/y)=t
y=1/u, y'=-(1/u^2)u'
-u'+u =t, u'-u =-t

お礼

＞mmkyさん
再びアドバイスありがとうございます！
早速もう一度トライしてみます。

今日は一日中、この2問に取り組んでました。
一日一問しか解けないなんて…かなり自己嫌悪ですが、
地道に頑張りたいと思います。
まだまだ勉強不足だということがよくわかりました。

補足

どうしても解けなくて、おかしいなと思ったら、…問題を間違えて打ってしまっていました。
問題の右辺が　=y^2logxと書いてしまったのですが、
正しくは　=y^2*logxでした…。

アドバイスをくれたお二方には本当に申し訳ないことをしてしまいました。すみません。
もう一度やってみます。

回答No.2

qntmphscs

y'+p(x)*y=q(x)*y^n　(n≠1)の解き方は

両辺をy^nで割って
y^(-n)*y'+p(x)*y^(1-n)=q(x)

u=y^(1-n)と置けば　u'=(1-n)*y^(-n)*y'　なので

u'/(1-n)+p(x)*u=q(x)

(2)の場合はここからu/x=vと置換することできれいに解けます。

お礼

＞qntmphscsさん
アドバイスありがとうございます！
そういえば、そういう解き方を何かの参考書で見た気がします。もう一度、トライしてみます！
ありがとうございました。

回答No.1

mmky

参考に
y^2+x^2=5x　であってますね。円の式ですから表現は、以下のようにしておけばわかりやすいでしょう。
y^2=5x-x^2　→　y=±√(5x-x^2)
又は、
(x-5/2)^2+y^2=(5/2)^2
つまり、y'は円上の接線の傾きを表していますね。

お礼

＞mmkyさん
回答ありがとうございます。
そのまま素直に、y=…のかたちになおせばいいだけだったのですね…。（恥ずかしい質問をしてしまいました…本当にすみません。）

補足

(2)x*dy/dx+y=y^2logx [初期条件x=1,y=1/2]の問題ですが、再び色々と試してみました。

x/y*dy/dx+1=ylogx
1/y*dy/dx+1/x=y/xlogx

u=y/x,y=ux,dy/dx=u+x*du/dxとすると

1/ux(u+du/dx)+1/x=ulogx
1/x+du/uxdx+1/x=ulogx
1+du/udx+1=uxlogx
du/u*1/dx=uxlogx-2
du/u=(uxlogx-2)dx
1/u*du=(uxlogx-2)dx

∫1/u*du=∫(uxlogx-2)dx

…となり、やはりuとxを分けられないんです。
どうやったらuとxを分けられるのでしょうか！？

もしかして、分けないまま、計算しちゃっていいのでしょうか…？