常微分方程式です

質問

dy/dx=x^2+y^2/xy
の微分方程式をy=uxとおいて求めたんですけど
u+xdu/dx=1+u^2/u-u
=1/u

∫u du=∫1/x dx
u^2/2=log|x|+C
C=u^2/2-log|x|
=y^2/2x^2-log|x|
になったんですがこれであってますか？

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

dy/dx＝(x^2＋y^2)/xy
dy/dx＝(x/y)＋(y/x)

y＝ux
dy/dx＝u＋xdu/dx

u＋xdu/dx＝(1/u)＋u

xdu/dx＝(1/u)

udu＝(1/x)dx

∫udu＝∫(1/x)dx＋c

(1/2)u^2＝ln(x)＋c

したがって，一般解は，

(1/2)(y/x)^2＝ln(x)＋c

y^2＝2(ln(x)＋c)x^2

y^2＝(ln(x^2)＋c)x^2

です．　c　は積分定数です．

検算：

(1/2)y^2＝(ln(x)＋c)x^2

2(1/2)y(dy/dx)＝2x(ln(x)＋c)＋(1/x)x^2
y(dy/dx)＝2x(ln(x)＋c)＋x

(dy/dx)＝(2x((1/2)(y/x)^2)＋x)/y

(dy/dx)＝((y^2/x)＋x)/y

(dy/dx)＝(y/x)＋(x/y)

となります．したがって，
一般解　(1/2)(y/x)^2＝ln(x)＋c　は正しいです．

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

>dy/dx=x^2+y^2/xy
これって
dy/dx=(x^2+y^2)/(xy)
=(x/y)+(y/x)
のことですか？

そうなら
>y=uxとおいて

u+xdu/dx=(1/u)+u
xdu/dx=1/u
udu=dx/x

>∫u du=∫1/x dx
>u^2/2=log|x|+C
>C=u^2/2-log|x|
> =y^2/2x^2-log|x|

わざわざC=の形にしなくてもいいですよ。
(u^2)/2=log|x|+C/2
u^2=log(x^2)+C
(ux)^2=(x^2){log(x^2)+C}

∴y^2=(x^2){log(x^2)+C}　（Cは任意定数）

お礼

ありがとうございます