微分記号（dy/dx）について質問です。

質問

微分記号（dy/dx）について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)
⇔
y = (1/2)x^2 + C （Ｃは積分定数）となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか？

dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算（約分）できるのはどうしてですか？形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、（右辺→左辺と見れば）置換積分の公式そのものです。

＞あたかも普通の数字や文字であるかのように計算（約分）できるのはどうしてですか？
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。

お礼

ありがとうございます。

高校では形式的なことしか習わず、理解が中途半端だった気がします

回答No.1

arrysthmia

dx や dy に単独での意味を与えて
dy/dx を普通の分数と考える体系もあるのですが、
高校や大学初年級では習いません。
(dy/dx)dx = dy は、そっちの世界の式です。

dy/dx を分数と考えないのならば、∫記号をつけて
∫(dy/dx)dx = ∫dy と書きましょう。
この式の右辺は、覚えやすいように
少し文学的な書き方がしてありますが、
より散文的には ∫(dy/dx)dx = y+C (Cは積分定数) です。
これは、微積分学の基本定理
「(定)積分は微分の逆操作である」そのものです。

お礼

ありがとうございます。
(dy/dx)dx = dy というだけでは意味がないのですね・・。