ε δ論法の話

質問

以前にも質問しましたが、今回あるサイトに書かれていた
内容でどうしてもつっかえている部分があり、分からず
悩んでいたので質問させてください。
書かれていた内容をそのまま貼ります。
（中学生です）

：連続性の話

f(x)=1 (x=0)
f(x)=0 (xが0以外)
として、この関数がf(1)で連続かを考える。

|f(x)-f(1)|<ε （しかし、xは ｜x-1｜<δ の範囲で定義される）
この不等式において、イプシロンが任意の時にx=0とされると不等式が成立しない。そこで、ある数δをδ<1とすると、この不等式は成立する。つまり、任意のε>0に対して、ある数δ>0（0<δ<1である）が存在し、 (a=1のとき)｜x-a｜<δであるどんなxに対しても｜f(x)-f(a)｜<ε が成り立つため、f(x)はx=1で連続である。
一方、f(0)で連続かを考えたとき、
|f(x)-f(0)|<ε （しかし、xは ｜x-0｜<δ の範囲で定義される）
この不等式において、x=0でないかぎり不等式は成立しない。そして、xは ｜x-0｜<δ の範囲で定義されるため、δが0<δである以上、どのようなδを定義しても絶対値がδよりも小さい範囲でxが定義されるため、x=0とならずに不等式は成立しない。つまり、任意のε>0に対してδが存在しないため、 f(x)はx=0で不連続である。

上記の文章のうち、
「この不等式において、イプシロンが任意の時にx=0とされると不等式が成立しない。」
と
「この不等式において、x=0でないかぎり不等式は成立しない。」
の部分が、なぜそうなるのか分からないのです。
数IIIの内容は理解しているつもりなので、連続の話は分かります。

どなたか説明していただけないでしょうか。
お願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

ひとつめ：
任意の正数 ε の各々に対して、
|x - 1| < δ　⇒　|f(x) - f(1)| < ε　…(1)
が成り立つような正数 δ を見つけることができれば、
f(1) の連続を示したことになります。

|x - 1| < δ の範囲に x = 0 が含まれる場合、
|f(0) - f(1)| = 1 ですから、
1 より小さい ε に対しては、(1) は成立しません。
（← この部分は、あまり重要ではないです。）
逆に、|x - 1| < δ の範囲に x = 0 が含まれない場合、
|x - 1| < δ　⇒　x≠0　⇒　|f(x) - f(1)| = 0 ですから、
任意の正数 ε に対して、(1) が成立しています。
（← こっちが重要。）

|x - 1| < δ の範囲に x = 0 が含まれないように、
1 より小さい δ を選んでやれば、当初の目的を達する訳です。
本来、δ は 各 ε ごとに見つけてやるのですが、
この問題では、たまたま、δ < 1 が どの ε にも使い回せる
ようになっています。例題としては、一般性に欠けるかもしれません。

ふたつめ：
どんな正数 δ を持ってきても、
|x - 0| < δ　⇒　|f(x) - f(0)| < ε　…(2)
が成り立たないような正数 ε をひとつ見つけることができれば、
f(0) の不連続を示したことになります。

どんな正数 δ を持ってきても、δ > 0 である以上、
|x - 0| < δ の範囲に、x = 0 以外の x が含まれることになります。
その x について |f(x) - f(0)| = 1 ですから、
1 より小さい ε を選んでやれば、どんな正数 δ に対しても
(2) は成り立たない訳です。

お礼

とてもよく分かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

FEX2053

とりあえず、イプシロン＝デルタ論法のwikipediaを張って、と。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%95-%CE%B4%E8%AB%96%E6%B3%95

この話をする場合、εもδも話を進める段階で「充分小さくする」
ことが前提になります。ですので、式の中のεが「充分小さい」と
考えると、定義が成立することが容易に示されると思いますよ。

補足

早速の回答ありがとうございました。
質問なのですが、任意のイプシロンと言っているのに、
結局小さくとるのが前提なのですか。
すいません、最初の質問と関係ないのですが、
どの参考書にも任意と書いてあるので、別に小さくなくても
いいのかと思ったのですが。