高校物理 鉛直方向の円運動 一回転の条件

質問

ひもにつなげた物体の円運動について、一部分からないところがあるので質問させていただきます。

長さrのひもの一端を固定して、質量mの小球をつなげました。
鉛直面内での小球の運動を考えます。はじめ、最下点から水平方向の速さv₀で打ち上げました。いろいろと計算をし、一番上で、速さが正となる条件はv₀＝√(4gr)、ひもの張力が正となる条件はv₀＝√(5gr)となりました。
ここで質問なのですが、なぜこの二つの値が異なるのでしょうか。どちらも一回転するための条件としてふさわしいと感じてしまうのですが…。
また、この二つの値の間の初速度で打ち上げた場合、小球の運動は頂点からどうなってしまうのですか？頂点まで行った後にふらふらと落下してゆくのでしょうか。でも、頂点まで行った（しかもそこで速度を持っている）のだから、そのまま一回転しそうだとも考えてしまいます…。

この疑問に答えてくださる方がいらっしゃいましたら、ご回答の方よろしくお願いいたします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。単純に
v0=√(4gr)は、力学的エネルギー保存則「だけ」を用いた結果であり、
v0=√(5gr)は、力学的エネルギー保存則と向心力の式(張力が正であること)とを組み合せた結果である。

ということですよね。力学的エネルギー保存則「だけ」で得られた答えは、小球が「棒」に取り付けられた場合になります。なので、いまの問題での答えはv0=√(5gr)です。

お礼

なるほど！
棒の場合と糸の場合で結果が異なるのですね！
よく分かりました、ありがとうございました。

回答No.2

bran111

地面に鉛直で上向きに座標ｚをとり、ｚ＝0の点をL、ｚ＝rの点をO、ｚ＝2rの点をHとします。

1）Hで速度＝0となる場合、Lで水平方向の初速度ｖ0はエネルギーの式より

(1/2)mv0^2=mg(2r)

これより

v0=2√(gr)　　　　　　　　　　　　　　（1）　　　　

2）Hで張力T＝0となる場合、T=遠心力-重力でHにおける水平方向の速度をｖとすると

遠心力＝mv^2/r、重力＝mg

T=mv^2/r-mg=0

これより

v=√(gr)　　　　　　　　　　　　　　　（2）

Hにおける運動エネルギーと位置のエネルギーをLにおける初速度V0の運動エネルギーで賄うためには

(1/2)mV0^2=(1/2)mv^2+mg(2r)

をみたすV0が必要。（2）を代入して

V0^2=gr+4gr

V0=√(5gr) (3)

よってあなたの計算はあっています。また、張力＝0になるためには重力に見合う遠心力が必要で、そのためHにおける水平(円周方向)の速度が必要であって、これを生み出すための初速度V0はｖ0より大きくなっています。

Hに到達後

1）では速度は0なのでHからまっすぐ下に自由落下します。

2）では水平速度=v=√(gr)を持っており、円運動を続行します。

お礼

水平方向の速度ですか…！
回答ありがとうございました！

回答No.1

Terios19

piyo_hiyokosanさん

その問題は不親切ですね。
初速がその間にある場合は、小球は一番上まで行きません。
その代わり、張力がゼロとなった瞬間（頂点に達する前）から、放物線運動を始めます。

ご参考になれば幸いです。

お礼

すみません、これは問題ではなく自分でどうなるのかなぁと考えたことです。
回答ありがとうございます！