円運動 回転円筒の中の小球の遠心力

質問

解説では回転する棒から見たときの遠心力が小球を外へ動かしているとして、遠心力のした仕事から出る時の速度を求めていました。僕の理解だと、遠心力というのは見かけの力で円運動における向心力と釣り合わせるための力なので、遠心力で小球が外に動くのはおかしいと思いました。また、これを実験室系でみたときに、なんの力が働いて小球は外に出るのかもわかりません。

回答No.3

eatern27b

>遠心力がmrω^2という形になるのであれば少なくとも円運動方程式が立てられていますよね？遠心力は円運動の慣性力なのですから。
言っている意味をよく理解できているか自信ありませんが、遠心力が働いているからと言って考えてる物体が円運動する、みたいに遠心力の有無と円運動するかどうかを結びつけた話をしているのならそれは正しくありません。

>そうするとこの小球を円運動軌道に持っていこうとする力が向心力だとするとその逆が遠心力です。
考えている回転座標系に対して静止している(慣性系から見て円運動している)物体を考えている時、この回転座標系から考えた時に物体に働く力(向心力)と遠心力は釣り合います。この物体は回転座標系からみると静止しているのだから、力の合力はゼロになっている訳です。

ただし、これはあくまでも回転座標系で静止している物体を考えている時の話です。静止してないのであれば釣り合う理由は何もない。

>でもこれは絶対遠心力ではないとおもうのです。そもそも仮に遠心力なのだとしたら慣性系の時点で円運動しかとりません。何か他の力があるから前に進みつつ円運動する奇妙な軌道になります。

例えば、小球が(x,y)=(a,0)の位置にあって、y軸に平行に速さvで打ち出します。するとこの小球は等速直線運動をします。
いま、一端を原点に固定した筒が、ご質問の問題と同じようにあるとして、この小球の運動を邪魔しないように(小球と筒の内壁が接触しないように)筒を回転させる事にします。筒と小球は接触してないので、小球は等速直線運動を続けるはずですね。筒が有限の長さならいつか小球は筒の外に出る事も容易に想像できるでしょう。

さて、この話の場合、貴方のいう「他の力」は登場しますか？

細かい状況に違いはありますが、
筒と一緒に回転している座標系から見た時に
・小球は1方向にのみ運動している事
・物体の速度(=速度ベクトルの筒の長さ方向の成分)が大きくなる事
・速度の変化は慣性力で理解する事
はご質問の問題と共通です。

回答No.2

eatern27b

細かい話は教科書に譲る事にしますが(と書き出した事を忘れて長くなってしまいました。。。)

そもそもの話として、ニュートンの第二法則は「慣性系でma=Fが成り立つ事」を要請していて、非慣性系で成り立つ事は要請していないし実際成り立ちません。

でも慣性系の加速度aと非慣性系での加速度Aの間に
a=A+α
という関係があるのだとすると(このようにαをおくと)、運動方程式は
m(A+α)=F あるいはmA=F-mα
と書けます。
慣性系と同じ運動方程式は成り立たないのだけど、-mαに慣性力という「力」と思う事にすれば、F-mαは真の力Fと慣性力の合力で、形式的に慣性系と同じ形の運動方程式が成り立つと思えるので何かと便利なのです。だから非慣性系では慣性力が働いていると思う事にしているんです。あくまでも力と思うことにしたというレベルのものだから(あるいは、具体的にどの非慣性系を考えるかで、向きや大きさが変わるから)、見かけの力と言われるのだけど、その座標系で運動方程式に着目している限りは、真の力Fと慣性力に特別な違いはなく同じ力として扱えます。

>遠心力があるなら慣性系で遠心力相当の逆向きの力があるはずなのですがそれが何なのかわかりますか？
何もありません。
ただ、上の式変形から、慣性系での加速度の一部を右辺に移項したのが慣性力だと思っても良いでしょう。(そう思うのが分かりやすいかは人それぞれかもしれません)

>また、この小球が遠心力で動くということが納得できません。遠心力は見かけの力なのに遠心力によって動くのですか？

一応、答えになる事は上に書いたつもりなので、ここでは繰り返しませんが

貴方の考える「見かけの力」とはどう言う意味で、本当に「見かけ」である事が動かない理由になるのかよく考えてみる事です。

もしも「見かけの力」という日本語から意味を想像し、そのイメージからこんな性質を持つはず、と考えているのならそれは宜しくない。うまく式と合致するのなら構わないしら何らかのイメージをもつことそのものは大事だと思いますが、式と合わない時にはイメージに固執するのではなくイメージの方を修正する事は必要です

>そもそも小球自体は円運動じゃないのになぜ遠心力が働くのでしょうか。
慣性力は非慣性系を考えている時に働く力です(運動方程式が慣性系と同じように成り立つように導入した量です)
物体が具体的どう運動するかは関係ありません。そもそも運動方程式がどうなるかという話をしている段階です。その解がどうなるか(物体がどう運動するか)なんて話はまだできません。

>筒の系はmrω^2の向心力を受けているのはわかりますが、小球は向心力を受けないのではないでしょうか

小球には向心力にあたる力が働いていない(原点から一定の位置に留めておくための内向きの力がない)のだから、小球は外に飛んで行ってしまうという事ですよね。
あれ、何に疑問があるのでしたっけ？貴方の疑問がここにきて分からなくなりました。

お礼

では、この運動ではやはり遠心力ではないような気がします。すみませんまた間違っているかもしれません。

遠心力がmrω^2という形になるのであれば少なくとも円運動方程式が立てられていますよね？遠心力は円運動の慣性力なのですから。

そうするとこの小球を円運動軌道に持っていこうとする力が向心力だとするとその逆が遠心力です。つまり慣性系のときの小球の円運動分を非慣性系で見たときに消すために運動方程式が立てられます。非慣性系にしたとき、この小球は円運動軌道をとらずにまっすぐ進むようにみえます。でもこれは絶対遠心力ではないとおもうのです。そもそも仮に遠心力なのだとしたら慣性系の時点で円運動しかとりません。何か他の力があるから前に進みつつ円運動する奇妙な軌道になります。

ここまでが僕が遠心力ではないと思う理由なのですが、間違いがあったらご指摘お願いします。

回答No.1

eatern27b

何が仕事をするのかという質問なら、棒内部に小球を拘束するための拘束力です。

その拘束力のr方向の成分はゼロなのになぜr座標(もしくはr方向の速度)が変化するのかという質問なら、
例えば、原点を通らない直線上を等速直線運動する物体の運動を極座標系で考えると、力が働いていなくてもr方向の速度が変化している事は明らかでしょう。
高校レベルならそういうものだと受け入れて貰うしかないかも？(高校物理の範囲がどこまでか正確に把握してませんが)
大学生以上なら、極座標系で加速度がどうなるのか計算して下さい。

お礼

違う視点からの考え方、ありがとうございます。
それに伴いいくつか疑問が出てきました。遠心力を使って解けるこの問題ですが、遠心力があるなら慣性系で遠心力相当の逆向きの力があるはずなのですがそれが何なのかわかりますか？また、この小球が遠心力で動くということが納得できません。遠心力は見かけの力なのに遠心力によって動くのですか？そもそも小球自体は円運動じゃないのになぜ遠心力が働くのでしょうか。筒の系はmrω^2の向心力を受けているのはわかりますが、小球は向心力を受けないのではないでしょうか

補足

この遠心力は何の力の慣性力なのかわかりますか？非慣性系で遠心力が存在するなら慣性系に同じ大きさで逆向きの力があると思うのですが。