物理 運動量保存の問題

質問

運動量保存の問題です。

右半分がスロープになっている質量Ｍ、高さhの物体Sと質量mの小球（m＜M）があり、この小球をスロープに沿って静かに落下させると小球が物体Sと離れた直後の物体Sと小球の速度V,vを求めよ。（右向きが正）という問題です。

　私は物体Sは左に、小球は右に進むだろうと思いましたが、とりあえずV,vを共に右向きと仮定して問題を解けば最終的にＶが負の答えとなって左に進むことになるだろうと思いました。

m×0 + M×0　＝　mv + MV

mgh = 1/2mv^2 + 1/2MV^2

として計算すると　

v = - ｛2Mgh/(M+m)｝^1/2 V = m｛(2gh/M (M+m)｝^1/2

となり、vが負　Vが正になってしまいました。
どこが間違えているのでしょうか。解説をお願いします

回答No.2

buenaarbol · ベストアンサー

多分質問者さんが欲しい回答
v = ｛2Mgh/(M+m)｝^1/2, V = - m｛(2gh/M (M+m)｝^1/2

これも
m×0 + M×0　＝　mv + MV
mgh = 1/2mv^2 + 1/2MV^2
の方程式の解になりませんか？
つまり方程式を解く段階で片方の解を見落としていたのが第一の混乱の原因だと思います。

私が問題を解くなら、まず上記の方程式を解いて二通りの解を導いた後、
力（力積）を受ける方向からv, Vの正負を判断して、適する解の方を解答とします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

えーと、まず問題に修正が必要です。

スロープの一番上から小球をスロープに沿って落下させるのだと思いますが
スロープを下りきって床にあたり、そのまま水平方向へ行くとすると
非弾性衝突なのでエネルギーが失われてしまいます。なので
スロープの終わりの部分は滑らかに水平方向へ曲がっているとしましょう。

そうすると力学的エネルギー保存則が使えるので

(1/2)mv^2 + (1/2)MV^2= mgh, mv + MV = 0

が方程式になります。この式からは V と v の方向を決められないので
2種類の解が導き出されますが、
v > 0 とすると v = √(2ghM/(M+m))

最後に、運動量が保存されるわけですが、
重力そのものが小球や物体に
加える力積は水平方向は 0 です。

小球と物体間の抗力は作用/反作用で相殺されますので、結局、
水平方向の運動量は保存されることになります。

以上です。

回答No.3

htms42

・問題文の意味がよく分かりません。
　図とも一致しません。

＞右半分がスロープになっている質量Ｍ、高さhの物体S

とは何のことですか。

スロープの上から落下させるのは質量ｍの小球（m＜M）ですね。

＞小球が物体Sと離れた直後の物体Sと小球の速度V,vを求めよ。（右向きが正）

「離れた直後の」というのは「衝突直後の」という意味ですね。
そうであれば何故大文字のＶが斜面の上の方に書かれているのでしょうか。

・運動量保存の式
　なぜ衝突前の運動量が０になっているのでしょうか。斜面を滑り落ちてきてぶつかったのでしょう。
　運動量保存則は衝突によって速度変化が起こる場面についてだけ成り立ちます。衝突の際に働く力について作用反作用の関係が成り立つことを使っています。斜面上方にある滑りだす前の状態に対しては使うことができません。落下によって起こる速度変化の原因は重力です。衝突で働く力が原因ではありません。

・エネルギー保存則
　エネルギーが保存する衝突であるとはどこにも書かれていません。
　重力の位置エネルギーと運動エネルギーの合計についての保存則と衝突での保存則は別々のことです。それぞれで宣言する必要があります。斜面が滑らかであるという文章がありません。弾性衝突であるという言葉もありません。
もし弾性衝突であれば反発係数の式を使う方が計算が楽です。
エネルギーの２乗の式を使うとこんがらがってくるでしょう。

衝突直前の小球の速度をｖｏと置いてｖ、Ｖを求めて下さい。
ｖｏをｈで表して下さい。
これでｖ、Ｖをｍ、Ｍ，ｈ，ｇで表した式が得られます。
質量には√　は入ってきません。

問題文、図を書きなおしてください。
求めた時の式も書きなおしてください。

おまけ
この図だとすると斜面を滑り落ちてきた小球は床に斜め衝突をすることになります。
跳ね上がります。滑らかにつながる曲線のスロープが必要です。

回答No.1

yokkun831

運動量保存の式で得られるのは，vとVが逆符号であることだけです。481961 さんは，これらの符号をどうやって決められたのでしょうか？右向きを正としたとき，斜面上で小球が受ける垂直抗力の水平成分は右向きですから，v>0そして同様にV<0は明らかですね？　このことは２つの式からは得られないのです。