数学の本を読んでいたのですが、わからないことがあり

質問

数学の本を読んでいたのですが、わからないことがありました。本には
「a,b,cは0～9のどれかである。
100a+10b+c=a+b+c+3×(33a+3b)である。
ある数に、3の倍数を足しても、3の倍数かどうかは変わらない。100a+10b+cというのはa+b+cに3の倍数を足して作れる。だから100a+10b+cが3の倍数かどうかと、a+b+cが3の倍数かどうかはいつも一致する。」
と書いていたのですが、この説明だけではどうして100a+10b+cが3の倍数かどうかと、a+b+cが3の倍数かどうかがいつも一致するかわかりません。

解説お願いします。

回答No.4

Higurashi777 · ベストアンサー

要は「３で割ったときの余り」に着目すると判りやすいかと思われます。
ある数を３で割ったときの余りは「０」「１」「２」のいずれか３通りしかありません。
仮にその「ある数」をｘとします。
ｘに３の倍数であるｙを足したとすると、それを３で割ったときの余りは
「０か１か２のいずれか」＋「０」
になります。すなわち、ｘに３の倍数を足した場合、３で割ったときの余りは変わりません。
ここで、x=a+b+cとしてみましょう。
100a+10b+c= (99a+9b)+a+b+c = (99a+9b)+x = 3(33a+3b)+x
になります。
xの余りの値は0/1/2のいずれかになります。
3(33a+3b)は見ての通り３の倍数ですから、３で割った時の余りは0です。
因って、「100a+10b+c」と「a+b+c」をそれぞれ３で割ったときの余りの値は一致します。
「余りの値が一致する」＝「３の倍数かどうかが一致する」
ということですね。

以上、ご参考まで。

回答No.3

aokii

100a+10b+c=a+b+c+3×(33a+3b)であるから、+3×(33a+3b)の部分の影響を無視できる。
だから、100a+10b+cが3の倍数かどうかと、a+b+cが3の倍数かどうかがいつも一致する。

回答No.2

noname#212313

> a,b,cは0～9のどれかである。
> 100a+10b+c=a+b+c+3×(33a+3b)である。

　ここまではいいんですね？　そうだとして続けてみます。

> ある数に、3の倍数を足しても、3の倍数かどうかは変わらない。

　これもいいでしょう。3の倍数に3の倍数を足しても3の倍数ですし、3で割って余りが出る数に3の倍数を足しても、3で割ると同じ余りが出ます。

> 100a+10b+cというのはa+b+cに3の倍数を足して作れる。

　この「3の倍数を足して」というのは、「a+b+c+3×(33a+3b)」の「3×(33a+3b)」のことでしょう。

> だから100a+10b+cが3の倍数かどうかと、a+b+cが3の倍数かどうかはいつも一致する。

　100a+10b+c=a+b+c+3×(33a+3b)の両辺を3で割った式を書いてみます。

　(100a+10b+c)/3={a+b+c+3×(33a+3b)}/3
∴(100a+10b+c)/3=(a+b+c)/3 + {3×(33a+3b)}/3　←右辺の各項を計算していく
∴(100a+10b+c)/3=(a+b+c)/3 + (33a+3b)　←右辺第2項は3で割りきれる

　右辺の(33a+3b)は、「a,b,cは0～9のどれかである」のですから、整数です。

　ということは、もし(a+b+c)/3が整数であれば、左辺の(100a+10b+c)/3も整数になるはずです。

　つまり、a+b+cが3で割り切れれば、100a+10b+cも3で割りきれるということになります。

　そのことを言葉を変えて言えば、a+b+cが3の倍数なら、100a+10b+cも3の倍数ということです。逆も成立して、100a+10b+cが3の倍数なら、a+b+cも3の倍数です。

　つまり「100a+10b+cが3の倍数かどうかと、a+b+cが3の倍数かどうかはいつも一致する」ということになります。

回答No.1

FEX2053

100a+10b+cを変形して得られる式がa+b+c+3×(33a+3b)です。

ここでa+b+c+3×(33a+3b)の右半分、3×(33a+3b)は、aとbが
何であっても絶対3でわれますから、3の倍数であることは自明
ですね。

ここでa+b+cが3の倍数なら、新しい変数xを導入して、a+b+c=3x
と書き直せますから、a+b+c+3×(33a+3b)=3x+3×(33a+3b)=
3×(33a+3b+3x)と変形でき、やっぱり3の倍数であることが
自明になります。

まあ、「369が3の倍数だから、3+6+9=12が３の倍数」という話を
一般論として拡張しただけ・・・ってコトなんですけどね。