数学の、最小公倍数を求める文章題です。

質問

水を入れる３種類のビンA、B、Cがある。A、B、Cに入る水の量はそれぞれ、
　　　　A；３本で１Ｌ　　　B：４本で３Ｌ　　C；５本で１Ｌ　である。
どのビンも、使う時には水をいっぱいに入れ、この３種類のビンで、ちょうど３６０Ｌの水を運ぶことにする。　Aをｘ本、Bをｙ本、Cをｚ本使い、x,、y、ｚの最大公約数が６０のとき、x、ｙ、ｚの最小公倍数を求めなさい。（解説もよろしくお願いします）

回答No.7

f272 · ベストアンサー

すでに答えが出ているようだな。

問題文から
A=1/3，B=3/4，C=1/5
ということがわかり，またx，y，zの最大公約数が60だから
x=60x'，y=60y'，z=60z'
とおける。合計で360Lになることから
(1/3)*60x'+(3/4)*60y'+(1/5)*60z'=360
20x'+45y'+12z'=360
となる。ここで
45y'と12z'と360は3の倍数であり，20は3の倍数でないからx'は3の倍数になる。x'=3x''であり，x=180x''
60x'と12z'と360は4の倍数であり，45は4の倍数でないからy'は4の倍数になる。y'=4y''であり，y=240y''
60x'と45y'と360は5の倍数であり，12は5の倍数でないからz'は5の倍数になる。z'=5z''であり，z=300z''
したがってx'，y'，z'の最小公倍数は3，4，5の最小公倍数である60の倍数になる。
言い換えるとx，y，zの最小公倍数は180，240，300の最小公倍数である3600の倍数になる。
ここで
20*3x''+45*4y''+12*5z''=360
x''+3y''+z''=6
となって，x''=1，y''=1，z''=2あるいはx''=2，y''=1，z''=1と言う解がたしかに存在するので
x=180，y=240，z=600あるいはx=360，y=240，z=300であり，x，y，zの最小公倍数は3600になる。

お礼

わかりました、どうも有難うございました。

回答No.8

KEIS050162

＃６です。

失礼、計算間違いしていました。最小公倍数は＃７さんの答えが正しいです。
［誤]
どちらにしても、最小公倍数は、
６０×６×４×５　＝　７２００
６０×３×４×１０　=　７２００
になります。　

⇒　どちらにしても、　６０×３×４×５　＝　３６００　になります。

回答No.6

KEIS050162

一応やってみました。もっとスマートな方法はあると思いますが、ご参考に。

A,B,Cの本数をｘ，ｙ，ｚ　とすると、
ｘ／３＋３ｙ／４＋ｚ／５＝３６０　（リットル）になります。

ｘ，ｙ，ｚの最大公約数が６０なので、Ｎｘ，Ｎｙ，Ｎｚを自然数とすると、
ｘ＝６０×Ｎｘ
ｙ＝６０×Ｎｙ
ｚ＝６０×Ｎｚ
となり、Ｎｘ，Ｎｙ，Ｎｚ三つに共通する因数はないことになります。

これを先の式に代入すると、
２０Ｎｘ＋４５Ｎｙ＋１２Ｎｚ＝３６０
になります。

これを満たすＮｘ、Ｎｙ、Ｎｚ（三つに共通する因数はない前提で）を探すと、

Ｎｘ＝６、Ｎｙ＝４、Ｎｚ＝５　もしくは、
Ｎｘ＝３、Ｎｙ＝４、Ｎｚ＝１０　のみが条件に当てはまります。（※）

どちらにしても、最小公倍数は、
６０×６×４×５　＝　７２００
６０×３×４×１０　=　７２００
になります。　

－－－※補足：３つの数字の組合せの探し方－－－－－
３６０は１０の倍数なので、Ｎｙ×４５、Ｎｚ×１２が１０の倍数になる組合せは、

Ｎｚ＝２、４，６、８…　９０、１８０、２７０、３６０
Ｎｙ＝５、１０、１５　…６０、１２０、１８０

３６０も２０Ｎｘも２０の倍数で、かつ、１２Ｎｚも２０の倍数となるので、４５Ｎｙも２０の倍数となる組合せを探すと、Ｎｙ＝４（１８０）のみ。

従って、組合せとしては、
Ｎｘ＝６、Ｎｙ＝４、Ｎｚ＝５　（１２０＋１８０＋６０）　か、
Ｎｘ＝３，Ｎｙ＝４，Ｎｚ＝１０　（６０＋１８０＋１２０）のみ。
いずれにしても最小公倍数は同じになる。

お礼

３つの数字の組合せの探し方も示していただいて、どうも有難うございました。

回答No.5

Tacosan

△ を出すところでミスってますけど, 本質的にはそんな感じで OK です＞#3.

手元計算だと x, y, z は 2通りありそう.

回答No.4

internanaty

△の導出でミスがありました
大変申し訳ありません

私のコメントは忘れてください

回答No.3

internanaty

ひょっとしてもう一つ条件はありませんか？
このままだと答えが8通り出るんじゃないかと思います

一応解説です。
x,y,zの最大公約数が６０なので、それぞれ最大６０で割り切れます。
x,y,zをそれぞれ○×６０本、□×６０本、△×６０本とおきます。（○、△、□は互いに素）
すると、Aのビンからは○×２０L、Bからは□×４５L、Cからは△×４Lの水を運ぶことになりますが、
この合計は３６０Lになります。

ここで、□の数と△の数を考えます。
３６０の下一ケタは０なので、□は２の倍数、△は５の倍数でないといけません。
さらに、○、△、□は１以上でないといけません。（もしどれかが０だと、問題が成り立ちません）

□がもし２だと、Bからは９０Lとなり、合計３６０Lの残りが２７０Lの奇数となり、
○、△がどんな整数でも成り立ちません。同じ理由で６もダメですし、８以上でも３６０Lを超えてダメです
したがって□は４だと分かります。

□が分かったので、□に４を代入して、４×４５＝１８０Lで合計３６０Lの残り１８０Lです。
残りは、
○＝１のとき、△＝４０
○＝２のとき、△＝３５
○＝３のとき、△＝３０
○＝４のとき、△＝２５
○＝５のとき、△＝２０
○＝６のとき、△＝１５
○＝７のとき、△＝１０
○＝８のとき、△＝５

です。
しかし、この全てがそれぞれ互いに素となるので、全て答えとしてOKだと思います。
（ここで、何か答えを一通りに絞る条件があるのかな？）

あとは、○×△×□×６０に、○、△、□のそれぞれの場合を代入したものが答えです。
違ってたらごめんなさい

お礼

考えていただいて、どうも有難うございました。

回答No.2

Tacosan

「x,、y、ｚの最大公約数が６０」っていってるんだから, x, y, z は全て 60 の倍数.

その前提で, 条件を満たすものを探せばいい.

お礼

どうも有り難うございました。

回答No.1

pannnacottacake

難しいですね…
X12
Y6
Z60
であってますかね？違ったらすみません。

360を一番大い5で割ると72
最大公約数が60なので一番大きい60にすると
60×5で300残りは60
60を3と4を使って出す方法を考えたところ
(3+3+4)×6
つまり3が12こ4が6こ

なので答えはこれまた60になってしまいます…
違う気がしますが参考までに(笑)

お礼

考えていただいて、どうも有難うございました。