数学確率について

質問

<問> 1,2,3,4の数字を書いたカードが3枚ずつ計12枚ある。このカードをよくかきまぜて中から3枚を選ぶとき、カードに書かれた数字の積が、12の倍数となる確率は (A)である。

<答え> 81/220

<自分の考え>12の倍数になればいいから、
i)(2,2,3)の組み合わせ。2が二枚で3が一枚だから、3C2・3C1=9
ii)(4,3,残りのカード)の組み合わせ。4が一枚で3が一枚、残りのカードは十枚だから、3C1・3C1・10C1=90

ここで、12枚から3枚選ぶのは12C3=220だから、i)ii)より、9+90/220すなわち99/220

<解説>ア)3が二枚、4が一枚のとき9通り
イ)3が一枚、4が二枚のとき9通り
ウ)3が一枚、2が二枚のとき9通り
エ)3が一枚、4が一枚、もう一枚は3と4以外のとき54通り

ア)～エ)より
9+9+9+54=81
よって81/220

<疑問>(1)なぜ(3,4,○)という組み合わせを解説のように細かく分ける必要があるんでしょうか？12の倍数なら残りの一枚はなんでもいいのではないでしょうか。

(2)自分の考えi)と解説ウ)は一致するんですが、この計算を3C1・2C1・
3C1=18ではダメな理由が知りたいです。この式の3C1は2のカード三枚あるうち一枚取る、2C1は残りの2のカード二枚のうち一枚取る、3C1は3のカード三枚あるうち一枚取るということです。

回答No.2

fronteye

ごめんなさい。お礼をいただき、自分の回答を見直したところ、誤りを発見しました。

誤：（２） 3C1・2C1・3C1=18 という考え方も、(2a,2b,3a)と(2b,2c,3a)を「別のもの」として数えています。

正：（２） 3C1・2C1・3C1=18 という考え方も、(2a,2b,3a)と(2b,2a,3a)を「別のもの」として数えています。

「2c」を「2a」に訂正します。
質問者さんを混乱させてしまったかもしれません。申し訳ない。

回答No.1

fronteye

元中学校の数学教師です。

あなたの考え方では、同じ組み合せを重複して数えてしまうからです。

カードを区別するため、2a,2b,2c,3a,3b,3c,4a,4b,4c と名前を付けましょう。

（１） 「残りの１枚はなんでもいい」という考え方では、最初の２枚が(3a,4a)のときの(3a,4a,3b)と、最初の２枚が(3b,4a)のときの(3b,4a,3a)が、「別のもの」として２度カウントされてしまいます。
このような重複を避けるため、<解説>にあるように細かく場合分けをする必要があるわけです。

（２） 3C1・2C1・3C1=18 という考え方も、(2a,2b,3a)と(2b,2c,3a)を「別のもの」として数えています。

お礼

ていねいにありがとうございます。すっきりしました(>_<)！