背理法の問題なのですが

質問

a、b、cを自然数にするとき次の事を示せ。
(1)aが３の倍数でないならばa^-1は３の倍数である。
(2)a^2+b^2=c^2ならばa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。

(1)はわかりました。
(2)は解説を読んでもよくわかりません。
[解説]
a,bともに３の倍数でないと仮定する。
(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2
一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり矛盾するからa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。

＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2
＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり
(1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。
あと何故ｃ^2を３でわると余りは0か1になるのでしょうか？
数字を代入してみるとそのとおりなのはよくわかるのですが・・。

よろしくお願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

yyama19さん、こんにちは。

＞(1)aが３の倍数でないならばa^-1は３の倍数である。
　　　　　　　　　　　　　　　↑
ここ、ちょっとタイプミスですよね？aのー１乗ではなく、aの２乗から１引いたもの、ですよね。

だとして、回答します。
＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2

（１）より、aの２乗から１引くと、３の倍数です。
ですから、aの２乗は、３で割って１余ります。
同様に、ｂの２乗も、３で割って１余ります。
ですから、a^2+b^2=1+1=2　←３で割った剰余系で考えているのです。
これは、a^2+b^2が、３で割って２余る数になることを示しています・・・（☆）

＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり

これも、（１）から言えます。
ｃが３の倍数でなければ、（１）より、ｃの２乗から１引いたものは３の倍数。
つまりc^2は、３で割って１余ります。

ｃが３の倍数であれば、ｃ＝３ｍとかけますから
c^2=(3m)^2=9m^2
となるので、これは３の倍数である。

ですから、ｃが３の倍数であろうとなかろうと、ｃの２乗は３で割って
あまりが０か１になります。・・・・（★）

（☆）と（★）は、明らかに矛盾していますから、
aもbも３の倍数でないとした仮定がおかしかったことになります。

よって、a,bのうち、少なくとも一つは３の倍数であることが背理法により照明されました。
ご参考になればうれしいです。

お礼

こんばんは、いつもありがとうございます。

タイプミスしてしまいました、ホントにごめんなさいm（__）m
やっと解説が理解できました。

すごく参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

springside

追加です。

(1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。

それでは、
＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2
は、以下のように【】内を補えばわかります。

(1)により【a^2-1は３の倍数だから、それに1を足したa^2は「３の倍数＋１」ということになって、３で割った余りは１。b^2も同様に３で割った余りは１。だから、】a^2+b^2を３で割った余りは1+1=2

お礼

＞(1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。
でした～本当に申し訳なかったです。
やっと解説が理解できました。
どうもありがとうございました。

補足

皆さまの回答に優劣をぜんぜんつけられないので、詳しく説明していただいた順しました。
ありがとうございました。

回答No.2

springside

（１）に関し、a^-1は1/aですか？　それが「３の倍数」というのは変な気がしますが。

（２）は、（１）がなくても以下のように解けます。

任意の自然数は、3n、3n+1、3n+2のいずれかで表されるが、それぞれの乗は、
(1) (3n)^2=9n^2=3*(3n^2)・・・３で割った余りは０
(2) (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1・・・３で割った余りは１
(3) (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1・・・３で割った余りは１
となるから、任意の自然数の２乗を３で割った余りは０か１である。
（余りが２にはならないということ）

さて、a、bの両方とも３の倍数でないと仮定すると、それぞれの２乗を３で割った余りは１になるから（上記の(2)又は(3)のケース）、a^2+b^2を３で割った余りは１＋１＝２である。
一方、右辺のc^2を３で割った余りは０か１なので、これは矛盾である。
よって、a、bのうち少なくとも１つは３の倍数である。

お礼

ごめんなさい、a^-1→a^2-1でした。
申し訳なかったですm（__）m
(3n+1)^2、(3n+2)^2もあまりは１になるんですよね、なんとなく前のが１なら次のは２になりそうな気がしてたんですが、なるほどです。

回答No.1

liar_adan

>＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2
>＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり
>(1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。

a^2+b^2 = (a^2-1)+(b^2-1)+2 と見ているためです。

>あと何故ｃ^2を３でわると余りは0か1になるのでしょうか？

これも(1)の応用で、
(i)cが3の倍数ならc^2も3の倍数
(ii)そうでない場合は c^2 = (c^2-1)+1
です。

お礼

やっと解説が理解できました。
ありがとうございました。