広義2重積分の収束判定法について質問です。

質問

aを実数とし、f(x, y)は、f(x,y)>0かつxとyについて対称な関数とします。このとき、画像の広義2重積分が収束するか否かを判定する一般的な方法はあるでしょうか？
あるのでしたら、どのように判定すればよいかを教えてください。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

N=(全自然数)
R=(全実数)
a∈R
f:R×R→R
(x,y)∈R×R→[f(x,y)>0]&[f(x,y)=f(y,x)]
I=∫_{a～∞}∫_{a～∞}f(x,y)dxdy
すべてのn∈Nに対して
[a,a+n]×[a,a+n]
において
f(x,y)は有界で、かつ積分可能として
I_n=∫_{a～a+n}∫_{a～a+n}f(x,y)dxdy
とする時

数列{I_n}_{n∈N}が有界であれば、
Iは収束する

数列{I_n}_{n∈N}が有界でなければ、
Iは収束しない

f(x,y)>0
↓
I_{n+1}-I_n
=∫_{a～a+n+1}∫_{a～a+n+1}f(x,y)dxdy-∫_{a～a+n}∫_{a～a+n}f(x,y)dxdy
=
∫_{a～a+n}[∫_{a+n～a+n+1}f(x,y)dxdy]
+∫_{a+n～a+n+1}[∫_{a～a+n}f(x,y)dxdy]
+∫_{a+n～a+n+1}[∫_{a+n～a+n+1}f(x,y)dxdy]
≧0
↓
I_n≦I_{n+1}
↓
{I_n}_{n∈N}は単調増加実数列

数列{I_n}_{n∈N}は有界であれば
有界単調増加実数列だから収束し
lim_{n→∞}I_n=I=(有限実数値)
となる

数列{I_n}_{n∈N}は有界でなければ
有界でない単調増加実数列だから発散し
lim_{n→∞}I_n=∞=I
となる

お礼

わかりやすい解説、ありがとうございました。本当に助かりました。