∫[x=0～∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確か

質問

∫[x=0～∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確かめよ

という問題がわかりません。

判定法定理とロピタルの定理よりx^1.5logx/(1+x^2)がx=∞で有界であることを示せました。

ですが、x=0のときどうやってもx^λlogx/(1+x^2) (λ<1)が有界であることを示せません。

僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。

なおこの広義積分は必ず収束します。

誰か教えてください。

おねがいします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1～n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n～m]f(x)dx|
=|∫[S～R]g(y)dy|≦|∫[S～R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε
↓
∫[1～∞]f(x)dxは収束する
↓
∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1～L]f(x)dx-∫[1～∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ
↓
∫[δ～1]f(x)dx=-∫[1～1/δ]f(y)dy
↓
|∫[δ～1]f(x)dx+∫[1～∞]f(x)dx|
=|-∫[1～1/δ]f(y)dy+∫[1～∞]f(x)dx|<ε
↓
lim_{c→+0}∫[c～1]f(x)dx=-∫[1～∞]f(x)dx
↓
∫[+0～∞]f(x)dx=0