不定積分と広義積分の収束判定

質問

∫(0－∞)sinx/xdx

が解けません。ヒントでもよいのでお願いします。

過去にも同様の質問がありましたが回答みてもよくわかりませんでした。

収束判定するときに優関数を選ぶコツっていうのはあるんでしょうか？

あと

∫e^x/xdx

∫sinx/xdx

の不定積分はどうなるんでしょうか？

回答No.2

minardi · ベストアンサー

どうもすみません。計算間違ってましたね。
2/qのところは2/pです。
そして、p→+∞とすれば0になります。

このとき、コーシーの収束条件というのは
lim[p→a,q→a]|f(p)-f(q)|=0がなりたてばlim[x→a]f(x)が存在する。
というものなので、
この場合も成り立って広義積分が存在することがわかります

お礼

再度回答ありがとうございます。

コーシーの収束条件について理解できてなかったみたいです。

ささいな計算ミスを指摘したことをお許しください。

たいへんわかりやすい説明でした。

回答No.3

grothendieck

∫(0－∞)sinx/xdx

を計算するために
　∫(0－∞)sinx/xdx
　=∫(0－∞)dx∫(0-∞)ｄα exp(-αｘ)sinx
を考えます。 するとこの積分はαについて一様収束だから積分の順序が交換できて
　∫(0－∞)dx exp(-αｘ)sinx = 1/(1+α^2)
　∫(0－∞)dα 1/(1+α^2) = arctan α｜(0－∞)=π/2
より
　∫(0－∞)sinx/xdx
　=∫(0－∞)dx∫(0-∞)ｄα exp(-αｘ)sinx
を考えます。 するとこの積分はαについて一様収束だから積分の順序が交換できて
　∫(0－∞)dx sinx = π/2
となります。この他、複素積分を使う方法もあります。
∫e^x/xdx
∫sinx/xdx

の不定積分は積分正弦関数と呼ばれ、初等関数では表されないことが知られています。ただしsin x をマクローリン展開してから項別積分することによりxが小さいときの展開式、部分積分によりxが大きいときの漸近展開を求めることはできます。

お礼

回答ありがとうございます

なるほど

知恵の結晶を感じました。すごいですね。

回答No.1

minardi

0<p<qとすれば
∫_p^q{sinx/x}dx=-[cosx/x]_p^q-∫_p^q{cosx/x^2}dx
=-cosq/q+cosp/p-∫_p^q{cosx/x^2}dx

このとき|cosx|≦1より
|∫_p^q{sinx/x}dx|≦1/p+1/q+|∫_p^q{cosx/x^2}dx|≦1/p+1/q+∫_p^q{1/x^2}dx
=1/p+1/q+[-1/x}]_p^q=1/p+1/q+1/p-1/q=2/q
となる。このことから

lim_{p,q→+∞}|∫_p^q{sinx/x}dx|=lim_{q→+∞}2/q=0
がなりたつ。
これよりコーシーの収束条件を満たしているので
lim_{a→+∞}∫_0^a{sinx/x}dxが収束して
与えられた広義積分は収束することがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。

1/p+1/q+1/p-1/q=2/qは

1/p+1/q+1/p-1/q=2/p

になって発散してしまうんではないでしょうか？