数学で何問か質問です。

質問

数学で何問か質問です。
(1)x^2+x-6<0を満たすすべてのxが|x|<aを満たすような正の定数aの最小値を求めよ。
→x=2,-3になるので絶対値の最大は3。
よってa=4。と考えたのですが答えはa=3です。
どうしてですか？

（2）x^2+3x+5≧0を解け。
→解の公式を使うとルートの中身がマイナスになるので複素数の問題なのかなと思ったのですが、答えはすべての実数だそうです。
どうしてそうなるんですか？

（3）x>1のとき、x+｛1/(x-1)｝の最小値とそのときのxの値を求めよ。
→これはさっぱりわかりません。

一つでもいいので教えてくださいおねがいします。

回答No.3

atkh404185

(1)　x^2+x-6<0を満たすすべてのxが|x|<aを満たすような正の定数aの最小値を求めよ。

x^2+x-6<0　・・・・・・ （ア）
の解は
(x+3)(x-2)<0
-3<x<2　・・・・・・ （イ）

|x|<a　・・・・・・ （ウ）
の解は
-a<x<a　・・・・・・ （エ）

（ア）を満たすすべてのxが（ウ）を満たす
いいかえれば、
（イ）を満たすすべてのxが（エ）を満たす
正の定数aの最小値を求めるから
a=3
になります。

Ｐ={x｜-3<x<2}，Ｑ={x｜-a<x<a}
とおくと
ＰがＱに含まれる（ＱがＰを含む）ような最小の正の数aは
a=3
です。

（2）x^2+3x+5≧0を解け。
左辺は
x^2+3x+5={x+(3/2)}^2-(9/4)+5={x+(3/2)}^2+(11/4)≧11/4
となるから、すべての実数xに対して常に正になります。
なので
x^2+3x+5≧0　の解は　すべての実数になります。

（3）x>1のとき、x+｛1/(x-1)｝の最小値とそのときのxの値を求めよ。

a>0. b>0 のとき
(a+b)/2≧√ab
等号成立は　a=b　のとき
相加平均・相乗平均の関係があります。
普通は、両辺を２倍した
a+b≧2√ab
を使います。

x>1　のとき　x-1>0　となり、また、1/(x-1)>0　だから
相加平均・相乗平均の関係より
x+{1/(x-1)}=(x-1)+{1/(x-1)}+1≧2√(x-1)×{1/(x-1)}+1=(2√1)+1=2+1=3

等号成立は、
x-1=1/(x-1)
つまり、これを解くと
(x-1)^2=1
x-1=±1
x=2, 0
x>1　より
x=2　のとき

回答No.2

bran111

(1)x^2+x-6<0を満たすすべてのxが|x|<aを満たすような正の定数aの最小値を求めよ。

y1=x^2+x-6, y2=|x|-aのグラフを書いて
y1<0の範囲、ｙ2＜0の範囲を調べれば一目瞭然ですが
簡単に言うと
y1<0⇒-3<x<2 (1)
y2<0⇒-a<x<a (2)
(2)が(1)をカバーするa の最小値は3ということです。

（2）x^2+3x+5≧0を解け。
x^2+3x+5=(x+3/2)^2+5-9/4=(x+3/2)^2+11/4≧11/4>0
これはいかなる実数xについても成り立つ

→解の公式を使うとルートの中身がマイナスになるので複素数の問題なのかなと思ったのですが、

⇒複素数では大小関係、つまり不等号は意味を持ちません。x^2+3x+5≧0という問題自体がxが実数であることを前提としています。

（3）x>1のとき、x+｛1/(x-1)｝の最小値とそのときのxの値を求めよ。
y=x+｛1/(x-1)｝=1+(x-1)+1/(x-1)
x>1なので相加平均、相乗平均の関係より
(x-1)+1/(x-1)≧２√(x-1)/(x-1)=2
よってy≧3
=は
(x-1)＝1/(x-1)
のとき成立
これを満たすxはｘ＝0またはx=2
ｘ＞1なのでｘ＝2

もっと高校１年生風に解けば
y=x+｛1/(x-1)｝より
(y-x)(x-1)=1
x^2-(y+1)x+(y+1)=0　　　　　(1)
ｘが実数になる条件は
D=(y+1)^2-4(y+1)=(y+1)(y-3)≧0
y>1なので
y≧3
y=3のとき(1)は
x^2-4x+4=(x-2)^2=0
x=2
これはx>1を満たすのでy=3をとることができる。

回答No.1

f272

(1)
「x=2,-3になるので絶対値の最大は3」というのが誤り。
x^2+x-6<0からは-3<x<2となるので|x|<3となる。
(2)
x^2+3x+5=0を解くと実数解がないというのはそのとおり。だから絶対に0にはならないということがわかり，x^2+3x+5は必ず正になる。
x^2+3x+5＝(x+3/2)^2+11/4≧0だからすべての実数で成り立つ。
(3)
x>1のときx+｛1/(x-1)｝=(x-1)+1/(x-1)+1≧2√((x-1)*1/(x-1))+1=3で等号が成り立つのは(x-1)=1/(x-1)のとき。つまりx=2のとき。相加相乗平均を使った。
y=x+｛1/(x-1)｝のグラフを描くとわかりやすい。