μが測度となる証明がわかりません

質問

[Q] (X,Σ,λ)を測度空間,f:Σ→[0,+∞)は可測関数とする時,
μ(A):=∫_A fdλ (A∈Σ)
とすると,μは測度となる。

これについて可算加法性はどうやって示せますか?

A_1,A_2,…を互いに素とする。
μ(∪_{i=1..∞}A_i)=∫_{∪_{i=1..∞}A_i} fdλ
=

ここからどうすればいいんでしょうか?

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

{A[j]} を互いに交わらない Σの列とする。

p[j] = χ_(A[j])を、A[j]上の特性関数とする。Σ[0≦j<∞] p_j = χ_A である。f[j ]= f * p[j] とおくと、f = Σ[0≦j<∞] f[j]。 s[j] = Σ[0≦k≦j] f[k] とおけば、s[j]は可測、単調増加、非負で lim s[j] = f。

Leviの定理からlim ∫ s[j] dλ = ∫ fdλ。左辺は lim μΣ(∪[0≦k≦j] A[k]) = Σ[0≦j<∞] μ(A[j]) 、右辺は μ(Σ[0≦j<∞] (A[j]))に等しい

お礼

どうも有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

回答No.1

tmppassenger

Leviの定理といったり、Lebesgueの単調収束定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86#%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%81%AE%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86 といったりするものを使えばいいです。

{A[j]} (j∈N) を、互いに交わらない Σの列とした時、f[j](x) = Σ[0≦i≦j] f(x)χ_{A[i]} (x) （χ_{A[i]}はA[i]上の特性関数）として、Leviの定理を適用するといいです。

お礼

有難うございます。
すみません。
もう少し詳しくお願いします。