極限値を求める

質問

極限値を求める問題です。困っています、どなたか教えてください。

回答No.3

Water_5

∫[0,1] 1/(1+(1+x)^2)dx + ∫[0,1] 1/(1+(2+x)^2)dx
=∫[1,2] 1/(1+t^2) dt
+ ∫[2,3] 1/(1+t^2) dt
=∫[1,3] 1/(1+t^2) dt

参考URL：

http://sky.geocities.jp/saganly/

回答No.2

noname#232123

Σ[k=1 to 2n]n/{2n^2+3nk+k^2} = (1/n)*Σ[k=1 to 2n]1/{(k/n)^2+3*(k/n)+2}.
ここで、f(x)=1/(x^2+3x+2), (x≧0) とすると、f'(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2<0, ですから、f(x)は単調減少。
よって次式が成立します。
Σ[k=1 to 2n](1/n)*f(k/n)<∫[0 to 2]f(x)dx<Σ[k=1 to 2n](1/n)*f((k-1)/n).
n→∞のとき、この式は等式になります。よって、
limΣ[k=1 to 2n]n/{2n^2+3nk+k^2} = ∫[0 to 2]f(x)dx=[ln{(x+1)/(x+2)}]
=ln(3/4)-ln(1/2)=ln(3/2).

回答No.1

info222_

lim(n→∞) Σ[k=1,2n] n/(2n^2+2nk+k^2)
=lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,2n] 1/(1+(1+(k/n))^2)
=lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[k=n+1,2n] 1/(1+(1+(k/n))^2)
後半でk-n=mとおく。
=lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[m=1,n] 1/(1+(1+(1+(m/n)))^2)
=lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[m=1,n] 1/(1+(2+(m/n))^2)
区分求積法を適用
=∫[0,1] 1/(1+(1+x)^2)dx + ∫[0,1] 1/(1+(2+x)^2)dx
=∫[1,2] 1/(1+t^2) dt (← t=x+1とおいて置換積分)
+ ∫[2,3] 1/(1+t^2) dt (← t=x+2とおいて置換積分)
=∫[1,3] 1/(1+t^2) dt
=[arctan(t)] [1,3]
=arctan(3)-arctan(1)
=arctan(3)-(π/4) ...(答)

（注：arctan(3)はtan^-1(3)のことです）