「極限を調べろ」の問題は常に右方極限と左方極限を調べなければいけない？

質問

極限を調べろという問題は常に右方極限と左方極限を調べなければいけないのでしょうか？

ある問題で、
lim(x→0)x-2/x^2-x
というのは、右方極限と左方極限を調べて、異なるため極限は存在しないという解になっているのですが、こういう極限を調べる問題の場合、右方極限と左方極限を常に調べなければいけないのでしょうか？
それとお異なる雰囲気がする場合のみ調べればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

「雰囲気がするときのみ調べる」のではなくて、取り敢えずは、明らかでない場合は常に調べるようにした方が良いと思います。
特に、今回の例題のようなx → a で f(x) / g(x) の極限を調べる場合において、g(x) が連続で g(a) = 0 ならば、 x = a を境に g(x) の符号が変わる可能性はかなり高く、 x → a で f(x) / g(x) → ? / 0 の形ならば、 g(x) の符号の変化は疑うべきことでしょう。
今回の例題（ x→0 で (x - 2) / (x^2 - x) の極限）では、分母の関数も単純で、x = 0を境にあからさまに符号が変化しますよね。この問題でそれに気づかなかった（雰囲気を感じられなかった）とすると、そもそもが、注意すべきことを最初から考えていなかった、忘れていたということでは？
であれば、まずはなるべく多くのケースで考えてみるのが良いでしょう。雰囲気を感じられるかどうかの感度は、その人の習熟度で変わるものでしょう。これからもっと複雑な関数の極限を求めることもあるのでしょうが、今回の例題では、一般的に分母が 0 に収束するようなケースは注意が必要だと、まあ怪しい雰囲気を感じる感度が上がったということで、良いのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

（ｘ　－　２）／（ｘ^2　－　ｘ）
　＝　（ｘ　－　２）／（ｘ（ｘ　－　１））

ですね。

＞＞＞異なる雰囲気がする場合のみ調べればいいのでしょうか？

「雰囲気」を具体化して考えなければ失敗します。

この式は、分母にｘの掛け算があるので、ｘの左と右とで極性が反転することが明らかです。
その場合は、両側の極限を調べなくてはいけません。
ｘ＝１の左右も同様です。

お礼

回答ありがとうございます。