高校数学、答案の書き方、記号（変数）の考え方

質問

（問題）In＝∫[0,π／２]sin(^n)xdx(nは０以上の整数）とするとき、In＝（ｎ－１）I（ｎ－２）／ｎ（ｎ≧２）を示せ。
（疑問）
ｎ≧２というのはどこから導きだしているのでしょうか？
元々、問題文で、ｎ≧０というように条件が付いております。
In＝∫[0,π／２]sin(^n)xdx(nは０以上の整数）のｎにｎ－２を代入して、ｎ－２≧０⇔ｎ≧２ということなのでしょうが、よくわかりません。どうかんがえるのがよいのでしょうか？

回答No.4

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　この問題は言葉通りに素直に受け取れば良いのです。

　つまりは、ｎが2より大きいが等しいときに

　　In＝（ｎ－１）I（ｎ－２）／ｎ　が成り立つことを示しなさい。

　ということで、

　ｎ≧２というのはどこから導きだしているのか

　という問いは、問題を理解していないことになります。

　　いきなりどこからか導き出したのではなく、

　　　ｎ＝０のとき計算すれば　π／２

　　　　　　　ｎ＝１のときに計算すれば　１

　　　そしてｎが２以上になれば、個別に求めるのではなく　

　　　　Inは　（ｎ－１）I（ｎ－２）／ｎ　という関係式であらわせることを示し

　　その上で、一般項　Ｉｎを導こうという解法です。したがってその途中の

　　　　Inは　（ｎ－１）I（ｎ－２）／ｎ　という関係式であらわせることを示しなさい。

　という問題です。

　　問題の式を求めることを、
　　にｎが０のとき、ｎが１のときと、順に取り組めば、そのことはすぐに気がつくはずです。

　したがってあなたの元の問いや補足に書いてあるような記号（変数）をいじくり回すことではないのです。

　問題にはその文章の意味するとおりに取り組みましょう。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

kmee

あと、添字で混乱しているのなら

l(k)=∫[0,π／２]sin(^k)xdx (k≧0)
とするとき
l(m) = (m－１）・I(m－２)／m（m≧2)
を示せ

ということです。
つまり、前の式と後の式で、nは同じ文字を使っているだけです。
元のlnは関数ではないですが。

お礼

ありがとうございました

補足

自分でも考えたのですが、正しいかどうか教えてください
F(n)＝∫[0,π／２]sin(^n)xdx（ｎ≧０）、G(n）＝ｎ－２（ｎ≧０）でF（G(n)）と合成していると考えられる。
F(n)の定義域はｎ≧０だから、G(n）＝ｎ－２（ｎ≧０）について、
ｎ－２≧０とせねばならないから、ｎ≧２．
(1)この考えが正しいかどうか教えてください。
(2)この考え方は本質的には解答者さんの考え方と同じような気がするのですが、明確な理由づけができません。助けてください。

回答No.2

kmee

> In＝（ｎ－１）I（ｎ－２）／ｎ（ｎ≧２）を示せ。

と、この式が成立する(かもしれない)のはn≧2だと書いてありますけど

お礼

ありがとうございました

回答No.1

f272

I_nっていうのはnが0以上のときに定義されているんだから
I_n=(n-1)(I_(n-2)-I_n)
を考えるときに添え字のn-2は0以上でないとだめだよね。だから初めからnが2以上のときを考えている。

お礼

ありがとうございます。

補足

解答者さまの説明はわかるのですが、I_n=(n-1)(I_(n-2)-I_n)のｎに対する条件ｎ≧０をｎ－２に適用しようとする流れがわかりません。
例えば、関数ｙ＝ｆ（ｘ）（上も関数と考えられます)
について、ｘとｙという変数の選び方自体に意味はなく、b=f(a)などでもよいです。
もし、ｙ＝ｆ（ｘ）のｘにｘ≧０という変域の条件があるとします。
ここで、ｘにｘ－２を代入したとき、（合成をおこなったとき、）ｙ＝ｆ（ｘ－２）となりますが、ｘについていた条件ｘ≧０がどうして、ｘ－２に適用されるのかがわかりません。変数はあくまでｘなのですから、ｘ≧０では？という変な疑問が頭から離れません。
１年生で、独学で独りよがりなところがあるので、変な事を言っていたらごめんなさい。