近似値の求め方を教えて欲しいです

質問

√2の近似値を求めるときに
x_n+1=x_n+○○と書き
n→∞とするとx_nがだんだん√2に近づいていく・・・
的なことを聞いたのですが
曖昧に覚えてしまい
○○の部分がよく分かりません
そこで○○の部分と具体的にどのように求めていけばいいのかを
教えてほしいのです
分かる方御教授お願いします

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

ニュートン法で求めるとき、
一般には、
Xn+1=xn-f(Xn)/f'(Xn)
で、
y=f(x)=x^2-a
とすると、
f(Xn)/f'(Xn)=(x^2-a)/2x=x/2-a/2x
xn-xn/2+a/2xn=(xn+a/xn)/2
となります。
√aにかぎっていえば、
ある候補ｘとそれとかけてaになる相手、a/x
との平均をつぎの候補にする
を繰り返せば、答えが求まります。
√２では
候補を１とすると　相手は2
平均は(１＋２）/2=1.5
1.5の相手は、1.33333
平均は、1.416666
1.41666の相手は1.41176
平均は、1.4142157
となります。

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございます
覚えていたのもこれだと思います

回答No.3

noname#47894

x_(n+1)　＝　１／（x_n＋１）＋１
でもいいと思います。

初期値をx_1=１とすれば、連分数展開と同じ式が得られます。
が、別の初期値（正の）でも、収束するとは思います。

お礼

たしかに収束しそうな感じです
ありがとうございました

回答No.2

Mr_Holland

恐らく質問者さんがお求めになられているものは、＃１さんの方法によるものだと思いますが、参考までに、連分数で近似値を求める方法をお伝えしたいと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0#.E6.A7.98.E3.80.85.E3.81.AA.E6.95.B0.E3.81.AE.E9.80.A3.E5.88.86.E6.95.B0.E5.B1.95.E9.96.8B

　√２は連分数で表すと、次のようになります。
　　√２＝[1;2,2,2,2,...]
　これを連分数の途中までを１段階ずつ計算していきますと、次のようになり、次第に、1.41421に近づいていきます。
　１）　1+1/2= 1.5
　２）　1+1/(2+1/2)=1+2/5= 1.4
　３）　1+1/(2+1/(2+1/2))= 1+1/(2+2/5)= 1.41666...
　４）　1+1/(2+1/(2+1/(2+1/2)))= 1+1/(2+5/12)= 1.41379...

お礼

覚えていたものとは違う、新しい方法を
教えていただきありがとうございました