近似値の計算方法について。

質問

こんにちは、

次の問題を解いていました。
電卓で計算すると0.99.....となるのですが、以下の方法ですると1となってしまいます。
この方法では、間違っているのかどうか分かりません。（間違って理解しているのかも）
チェックをお願いします。
なお、小数点以下桁数は、2桁までです。

そのほかの方法では、確かに0.99になりました。
sin(x)≒x
（1+a）^n≒1+an

x=0.1radのとき、
__________1__________ の近似値を求める。
√{1+2[sin(x)]^2}

(方法)関数は、微小区間では、接線の一次式で近似できるので
　　　X=Oのときの値を求め、さらにそのときの接線の傾きを求めXに0.1を代入して結果を
　　　X=0のときの値に加えて近似値を求める。

(計算)
　　　(上式をf(X)とする。)

f(0)=1
　　 接線の傾き=f'(0)=0
∴f(0.1)=f(0)+接線のdf(x)=1+0=1

回答No.4

ninoue

#2です。
(x) ≒ 1 -0.5x +0.75x^2;
は誤っていました。
f(x) ≒ f(0) +f'(0)*x +f''(x)/2! *x^2 +f'''(0)/3! *x^3 +...
なので
f(x) ≒ (1+x)^(-1/2)
f(x) ≒ 1 -0.5x +0.375x^2 -0.3125x^3 +..

となります。　従って近似値は次の通り、一次式、二次式近似共正しく求められます。.
f(x) ≒ 1 -0.5*0.02 = 0.99
f(x) ≒ 1 -0.5*0.02 +0.375*0.0004 = 0.99015

(1+2*(sin(0.1))^(-1/2) ≒ 0.99018

回答No.3

ninoue

再度チェックしたところ、近似式の係数計算時に計算誤りがあり、誤った結論を導いていただけです。

f(x)=(1+x)^α;　　但しα=-0.5
f'(x) = α(1+x)^(α-1);
f''(x) = α(α-1)(1+x)^(α-2);
f'''(x) = α(α-1)(α-2)(1+x)(α-3)

sin(x) = x -x^3/3! +x^5/5! ≒ x; (x^2迄の精度で)

f(0) = 1;
f'(0) = α　= -0.5;
f''(0) = α(α-1) = -0.5*(-1.5) = 0.75
f'''(0) = α(α-1)(α-2) = 0.75*(-2.5)=-1.875

f(x) ≒ 1 -0.5x +0.75x^2;

f(2[sin(0.1)]^2) ≒ f(0.02) ≒ 1 -0.01;
f(2[sin(0.1)]^2) ≒ f(0.02) ≒ 1 -0.01+0.75*0.0004 = 0.9903;

以上の通り、近似式は求める精度の範囲で正しいです。

回答No.2

ninoue

ssk38さんの答と同じ事ですが、考え方としては正しいのですが、微小区間の近似範囲を超えて適用しようとしている、或いは言い換えれば近似精度を超えた要求をしているのではないでしょうか。
dx=0.1ですから、答も0.1の桁の精度迄、小数点第2位は多少怪しく、四捨五入して1.0の答は出ています。

お礼

回答有難うございます。

とりあえず、考え方としては間違っていないということで安心しました。
ただ試験問題として考えると、誤差も考慮して最適な方法を考えなければ
ならないということですね。
今までは誤差まで考えず、知っている知識のみで問題を解いていました。
いずれ模範解答も出されるとは思いますが、模範解答を見ながらでも手法を
理解しながら学習していきたいと思います。

回答No.1

ssk38

グラフを想像すると、f(x)=f(-x)で、対象な関数だから、x=0で接線が水平で、1であってるんじゃないでしょうか。
近似値なんだから、精度の違いでしょう。

お礼

回答有難うございます。
ＮＯ．２のコメント欄であわせて補足させていただきます。