ガウスの発散定理の証明について

質問

ガウスの発散定理の証明の途中で分からないところがあり質問させてもらいました。
入力方法がわからない文字があったため写真でアップしました(申し訳ないです)

写真で示しているように?の部分が分かりません.
普通に積分するのではないのでしょうか?

どなたか解説のほうお願いします

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回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

ちょっと大きなお世話をします。以後、2次元以上では話が不要に面倒になるので、1次元という事で・・・(^^;)

＞普通に積分というのは不定積分や定積分などのようにするのかなと思っていました…

　1次元の積分の定義は次のようになります。

　関数f(x)を0～1で積分する事を考えます。地道にやるとこうです。区間[0，1]をn個に等分し、x0＝0，x1＝Δx，x2＝2・Δx，・・・，x(j)＝j・Δx，・・・，xn＝n・Δx＝1　を取ります。ただしΔx＝1/nです。

　そして全てのj＝0～nについて、f(x(j))とf(x(j+1))を比較し、値の小さい方にΔxをかけ、全てのjに関する和SLと作ります。同様に、値の大きい方にΔxをかけ、全てのjに関する和Su　を作ります。要するに面積の長方形近似ですよ。fが単調増加だったら、

　　SL＝Σf(x(j))・Δx　　　（和はj＝0～n-1で取る）　　　(1)
　　Su＝Σf(x(j+1))・Δx　（和はj＝1～nで取る）　　　　　(2)

です。SLを下積分，Suを上積分と呼びますが、本当の面積Sは、

　　　SL≦S≦Su

となるはずです（そうなっていて欲しい(^^)）。SLとSuはSの近似なので、無限に正確にするために、Δx→0（n→∞）の極限を取ります。この時、lim(Δx→0)SL＝lim(Δx→0)Suとなって、

　　S＝lim(Δx→0)SL＝lim(Δx→0)Su　　　(3)

とできるなら、S＝∫f(x)dx　と書きますよ～（∫の上下限は0と1）、というのが積分の定義です。(3)が成立する時、関数f(x)は区間[0，1]で可積分であると言われます（成立しない場合もあるから）。

　上記の定義は本質的に、今も昔も変わっていません。なので、

　　∫x^2dx＝1/3・x^3＋C　　　(4)

という不定積分の公式も、本来は(3)で証明するのが本当です。ところが、微分した結果がわかっている時には、微分した結果を積分すれば原始関数に戻る、という破壊的に便利な定理が発見されてしまった訳です。dF/dx＝f(x)のとき、

　　∫f(x)dx＝F(x)＋C　　　(5)

です。それで理論的な事をあんまり考えなくても良い時は、何にも考えずに(5)の発想で(4)を使います。

　本来の積分は(1)や(2)で極限を取ったものだと納得できるなら、[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz　なんかは当然だよね、って思えませんか？。今は微小体積ΔxΔyΔzで考えてるので、これは1個のf(x(j))・Δxなんかと同じです。

　ただし物理なので、極限を取るとかクソ面倒くさい話はしません。「微小体積」って言ってるんだから、極限を取ったのと同じだとわかれ！(^^;)、という前提で[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz　なんかが平気で出て来ます。ちなみにこれ、長方形近似そのものじゃないですか(^^)。

　微分でも同じですよ。微分の結果は本来、

　　　lim(Δx→0)［f(x＋Δx)－f(x)］／Δx

で出すのがすじです。ところが微分公式という破壊的に便利な定理があるので、d/dx(x^n)の結果は、「n前に出して、後ろのnから1引く」な～んてやる訳です　⇒　n・x^(n-1)。

　ところで［f(x＋Δx)－f(x)］の部分、[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]そのものじゃないですか(^^)。

お礼

回答ありがとうございます。
いくつか分からないところがありますが、納得できるまで考えたいと思います。
ありがとうございました

回答No.2

bran111

＃1です。

>∫(A)Ex(x+dx,y,z)dydz-∫(B)Ex(x,y,z)dydz

↓ここ

=[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz

面積分を立方体ΔxΔyΔzのA面, B面に適用しただけの話であって、特に何かしたわけではありません。このような扱いは連続体(流体、固体、電磁気等）または場の解析において一般的に行われます。あえて言えば慣れていけば理解の円滑化に有効でしょう。

最初の質問にあった
＞普通に積分するのではないのでしょうか?
とはどういう意味合いですか。

お礼

何度も申し訳ないです。

面積分を立方体ΔxΔyΔzのA面, B面に適用という行為自体が、あまり分からないのですが、もう一度教えていただけないでしょうか

普通に積分というのは不定積分や定積分などのようにするのかなと思っていました…

回答No.1

bran111

∫(A)Ex(x+dx,y,z)dydz-∫(B)Ex(x,y,z)dydz

=[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz

直方体dx×dy×dzのx軸に垂直な面A,Bからの流入、流出分を計算しています。

Ex(x+dx,y,z)はA面(x+dx)における単位面積当たりの流出分でこれに面積ΔyΔzをかけることでA面からの流出分となります。同様にEx(x,y,z)はB面(x)における単位面積当たりの流出分でこれに面積ΔyΔzをかけることでB面からの流出分となります。マイナスをつけることによって流入分となります。

[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz＝{[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]/Δx}ΔxΔyΔz

=(∂Ex/∂x)ΔV

これは有限厚さΔxにおけるExの変化量をlim(Δx→0)にもっていくことにより微分∂Ex/∂xに持ち込むための式の変形です。Δは有限、dは無限小という使い分けでlimをとることにより

　　　Δ→∂

となります。

y軸に垂直な２面からの流出、ｚ軸に垂直な２面からの流出を同様に計算し、加算することによって

∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z=div(E↑)がまとまりガウスの発散定理

∫(S)E↑・dS↑=∫(V)div(E↑)dV

が得られなす。

お礼

回答ありがとうございます。

∫(A)Ex(x+dx,y,z)dydz-∫(B)Ex(x,y,z)dydz

↓ここ

=[Ex(x+dx,y,z)-Ex(x,y,z)]ΔyΔz

↓ここ　のところはどういう風にすればいいのでしょうか？

＞Ex(x+dx,y,z)はA面(x+dx)における単位面積当たりの流出分でこれに面積ΔyΔzをかけることでA面からの流出分となります。同様にEx(x,y,z)はB面(x)における単位面積当たりの流出分でこれに面積ΔyΔzをかけることでB面からの流出分となります。マイナスをつけることによって流入分となります。

の意味はなんとなく分かったのですが、式変形?はこうなると覚えるしかないのでしょうか？

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。