ガウスの積分について

質問

閉曲面S上の任意の位置ベクトルP=[x,y,z]とそのノルムp=llPll について∬[領域S](P/p^3)・ndsの式が成り立つ。ここでガウスの発散定理より∬[領域S](P/p^3)・nds=∫∬[S内の領域V]div(P/p^3)dVと変形できる。

『閉曲面SがOを含んでも,∬[領域S](P/p^3)・ndsの面積分は外側のみの積分だから被積分関数の分母が0になることはない。しかし、∫∬[S内の領域V]div(P/p^3)dVの式については体積分でありSの中身の積分になるから、被積分関数の分母が0になる場合が生じる。よって、ガウスの発散定理を用いることができるのは、閉曲面Sが原点Oを含まないときのみである。』

質問ですが、『』の文章の説明がいまいち分かりません。∬[領域S](P/p^3)・nds=∫∬[S内の領域V]div(P/p^3)dVの式の左辺の面積分だと、なぜp=0にならないのか？逆に右辺の体積分だとp=0になりうるのか詳しく教えてください。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

＞左辺の面積分だと、なぜp=0にならないのか？逆に右辺の体積分だとp=0になりうるのか

O　は原点のことかな？

閉曲面S が O を含まなければ(例えば原点を中心とする球面)、当然 p=0 にはならないでしょう。
閉曲面S内の領域　が O を含むなら（例えば原点を中心とする球）、当然 p=0 になるでしょう。

積分領域に原点が含まれるか否かという単純な話です。