ガウスの発散定理について質問
xyz空間の原点を中心とし、半径が１の球面をSとします。Sの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かう―(1)ように選んでおきます。この時、ベクトル場は
V(X)＝
x+2y
3y+4z
5z+6x
のS上の面積分
∫[S]V・ｄS
の値を求めてください。という問題で他の回答者さまに以下のようにご回答いただきましたが、(1)～(3)がわかりません。
質問1(1)はなぜこのベクトルはSの内向きなのでしょうか？
質問２(2)から(3)の途中計算がわかりません。
質問３また(2)の最後はdudvとなっていますが、dxdydzをdudvに変換したのでしょうか？したならどのように変換したのでしょうか？
質問4単位法ベクトルN(u,v)の公式は
N(u,v)={1/||xu(u,v)×xv(u,v)||}・xu(u,v)×ｘv(u,v)とテキストに書かれていますが、なぜ(2)のような式の形なのでしょうか？何か別の公式があるのでしょうか？
途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
空間の場合のガウスの発散定理より
∫[S]VdS=∫[M]divv・dxdydzより
div=∂v1/∂x1+∂v2/∂y+∂v3/∂z(発散の定義)
=1+3+5
=9
(単位球面のパラメーター)
X(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
Xu(u,v)=
-sinu・cosv
-sinu・sinv
cosu
Xv(u,v)=
-cosu・sinv
cosu・cosv
0
よって外積Xu×Xv=
-cos^2u・cosv
cos^2u・sinv
-2sinu・cosu
このベクトルはSの内向きなので、N(u,v)=-(Xu×Xv)となる。－(1)
∫[S]VｄS＝－9∫[0→2π]∫[0→2π]
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
×
-cos^2u・cosv
cos^2u・sinv
-2sinu・cosu
dudv―(2)
=9∫[0→2π]∫[0→2π]2sin^2u・cosu・dudv―(3)
=18∫[0→2π]∫[0→2π]sin^2u・cosu・dudv
t=sinuとおくと、dt/du=cosuより、cosudu=dt
∫[0→2π]sin^2u・cosudu
=∫[0→1]t^2dt
=[t^3/3](0→1)
=1/3
ゆえに
18∫[0→2π]1/3dv
=∫[0→2π]6dv
=[6v](0→2π)
=12π(答)
お礼
ありがとうございました．