高校数学 複素数の対称移動

質問

以下の問題の解き方が分かりません。
分かる方がいらっしゃいましたら、ご教示願います。
『複素数平面上の異なる3点Ａ（α）、Ｂ（β）、Ｃ（γ）に対して、直線ＡＢに関する点Ｃの対称点Ｄをα、β、γを用いて表せ。』

パソコンでの共役の表し方が分からないので、αの共役な複素数は[α]と表すことにします、ご了承ください。
答えはＤ（｛α[β]-[α]β+[γ](β-α)｝/｛[β]-[α]｝）とのことです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

A=α,B=β,C=γ
とすると
AC=γ-α
AB=β-α
γ-α=|AC|e^{i(arg(AC))}
arg(AC)=arg(γ-α)はACとx軸の角度
β-α=|AB|e^{i(arg(AB))}
arg(AB)=arg(β-α)はABとx軸の角度
β≠α
だから
(γ-α)/(β-α)
=(|AC|/|AB|)e^{i(arg(AC)-arg(AB))}
だから
r=|AC|/|AB|
t=arg(AC)-arg(AB)
とすると
(γ-α)/(β-α)=re^{it}
|AC|=r|AB|
だから
ACはABのr倍ベクトルで
tはACとABの角度
∠BAC=t
だから
DはCのABに対する対称点だから
|AD|=|D-α|=|AC|=|γ-α|
左回り角度を正とすれば
∠BAC=-∠BAD
だから
|D-α|/|β-α|=|γ-α|/|β-α|=r
arg{(D-α)/(β-α)}=∠BAD=-t
だから
(D-α)/(β-α)=re^{-it}=[(γ-α)/(β-α)]
↓
(D-α)/(β-α)=[(γ-α)/(β-α)]
↓
(D-α)/(β-α)=[γ-α]/[β-α]
↓
(D-α)/(β-α)=([γ]-[α])/([β]-[α])
↓
D-α=(β-α)([γ]-[α])/([β]-[α])
↓
D=α+(β-α)([γ]-[α])/([β]-[α])
↓
D={α([β]-[α])+(β-α)([γ]-[α])}/([β]-[α])
↓
D={α[β]-[α]β+[γ](β-α)}/([β]-[α])

お礼

回答ありがとうございました(^^)
助かります！

回答No.4

178-tall

ANo.3 の錯誤を訂正。

一方、
　[z/α] = [ (b/a)e^{i(q-p) } ] = (b/a)e^{i(p-q) }
だろうから、これに (1) を掛ければ、
　[z/α]α = be^{i(2p-q) } = w　: cf.(3)
(Q.E.D)

お礼

たびたびありがとうございます！

回答No.3

178-tall

No.2 さんのご指摘にある算式、
　　↓
>実軸と虚軸との交点を Ｏ、点Ａ（α）とする。
>直線ＯＡに関して、点Ｐ（ｚ）と対称な点Ｑ（ｗ）は
>ｗ＝[ｚ/α]α
　　↓
… これの証明は、No.1 さんのレスに埋めこまれている。
略証してみる。

まず、
　α= ae^(ip)　　… (1)
　z = be^(iq)　　… (2)
とでもすると、
　w = be^[i{p + (p-q) } ] = be^{i{2p-q) }　　… (3)
(略図などで、チェックしてみて…)

一方、
　[z/α] = [ (b/a)e^{i(q-p) } ] = [ (b/a)e^{i(p-q) }
だろうから、これに (1) を掛ければ、
　[z/α]α = be^{i(2p-q) } = w　: cf.(3)
(Q.E.D)

回答No.2

atkh404185

実軸と虚軸との交点を Ｏ、点Ａ（α）とする。
直線ＯＡに関して、点Ｐ（ｚ）と対称な点Ｑ（ｗ）は

ｗ＝[ｚ/α]α

という式があるようです。

この式を使ってもよいのであれば、
この式に当てはめて、解いていけばどうでしょうか。

直線ＡＢのＡがＯに重なるように平行移動すると、
ＢはＢ’（β-α）、
ＣはＣ’（γ-α）
にそれぞれ移動します。

また、Ｄ（ｚ）とすると、
ＤはＤ’（ｚ-α）
に移動します。

このように、平行移動をすると、
直線ＯＢ’に関して点Ｃ’と対称な点Ｄ’は
ｚ-α=[(γ-α)/(β-α)](β-α)
これより
ｚ={([γ]-[α])(β-α))/([β]-[α])}+α
={([γ]-[α])(β-α)+α([β]-[α])}/([β]-[α])
={[γ](β-α)-[α]β+[α]α+α[β]-α[α]}/([β]-[α])
={[γ](β-α)-[α]β+α[β]}/([β]-[α])
={α[β]-[α]β]+[γ](β-α)}/([β]-[α])
とＤが求まります。

お礼

回答ありがとうございました(^^)
助かります！