高校数学Ａのねじれの位置に関する証明について

質問

「空間内に4点A,B,C,Dがあって、2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、2直線AD,BCもねじれの位置にあることを証明せよ」と言う問題で、
模範解答では、「2直線AB,CDがねじれの位置にあるとき、2直線AD,BCもねじれの位置にないと仮定すると・・・」と、
背理法の流れで証明します。
しかしこれを、背理法を使わずに
「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない。とういうことは2直線AD,BCもねじれの位置にあると言える」
という証明法は
何か問題があるから模範解答は背理法を使ってるんだと思うんですが、
その「問題」がなんなのか分からないので教えてください。

回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞「2直線AB,CDが一つの平面上にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にある」　……①
と言って良いけど
「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない」　……②
と言ってはいけないんですね。

この質問について回答します。

「2直線AB,CDが一つの平面上にある」
の否定が，
「2直線AB,CDがねじれの位置にある」
（ねじれの位置にあることの定義が同一平面上にないこと）
ですね。
「4点A,B,C,Dが同一平面上にある」
の否定が
「4点A,B,C,Dが同一平面上にない（３点で決まる平面上には残りの１点が存在しない）」
つまり
②は①の「裏」（逆・裏・待遇のうちの裏）になります。（※）
ですから②は必ずしも真ならずなのです。真であることを証明する必要があるのです。

※　命題の真偽については学習済みですか？その前提で書きました。

お礼

丁寧にありがとうございました。

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回答No.2

kiha181-tubasa

「２直線がねじれの位置にある」ことの定義はどのように学んでいますか。
①２直線が平行でも交わるでもない状態にあるとき
②２直線が同一平面上にないとき
（①②はもちろん同値ですけど……）
のどちらかですね。
この中に４点の同一平面上への存在性については述べられていません。

ですから
「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない。とういうことは2直線AD,BCもねじれの位置にあると言える」
を証明の論旨にしたいのであれば，
「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない」
「4点A,B,C,Dが同一平面上にないとき，2直線AD,BCもねじれの位置にある」
という２つの事を証明する必要があります。（直感的には成程なのですが，ねじれの位置の定義を満たしていることを証明する必要があるのです）

補足

「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない」のは
当たり前じゃん（だって、例外が思い浮かばない）と思っていましたが、
証明では使えないという意味でしょうかね。難しいですね。

「2直線AB,CDが一つの平面上にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にある」
と言って良いけど
「2直線AB,CDがねじれの位置にあれば、4点A,B,C,Dが同一平面上にない」
と言ってはいけないんですね。

つまり「ねじれの位置にある」は「無理数である」のように
これは背理法を使う問題だと思って間違いないと言うことでしょうか？
良ければご意見を伺いたいです。

回答No.1

iijijii

4点A,B,C,Dが同一平面上にない
↓
2直線AD,BCもねじれの位置にある

ここが直感的に理解できる人はいても、それを証明するとなると簡単ではないです。

要は後者に問題があると言うより、前者の方が証明が簡単だからでしょう。