複素数です

質問

複素数α、βはα＋β＋２＝０
|α|=|β|=2を満たしている。
複素数平面上の3点A(α)B(β)c(2)を頂点とする三角形A B Cの面積を求めよ。

わからなくてこまっています。
おしえてください。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

少し長くなります。２通りの解き方を紹介します。

【図形の性質を使う解法】
A(α), B(β), C(-2)
とおきます。この３点はOを中心とする半径2の円周上にある事は明らかですね。（このことは解答では使わないかもしれませんが）
α+β=-2
で，D(-2)とおくと，点Dは原点に関してCと対称な位置にあります。
そして，四辺形OADBはODを対角線とする平行四辺形になりますが，隣り合う２辺OA, OBの長さが等しいので，四辺形OADBはひし形となります。平行四辺形(もちろんひし形も)の２つの対角線は，互いに他を２等分します。ひし形ゆえ，２つの対角線は直交します。
従って，対角線ABは点(-1)で実軸と直交することがわかります。
OA=2, OD=1, ∠ADOが直角だから三平方の定理から
AD=√3
従って
△ADC=(1/2)CD*AD=(1/2)*(1+2)*√3=3√3/2
図形の対象性から
△BDC=△ADC
ゆえに
△ABC=(3√3/2)*2=3√3　……答

【極形式を使う解法】
A(α), B(β), C(-2)
とおくのは同じ。
|α|=2, |β|=2
だから，x, y(0≦x＜2π, 0≦y＜2π)を偏角として
α=2(cosx+isinx)
β=2(cosy+isiny)
と表すことができます。ここでx≦yとします。
このとき
α+β
=2((cosx+cosy)+i(sinx+siny))
=2(2(cos(x+y)/2)*(cos(x-y)/2)+2i(sin(x+y)/2)*(cos(x-y)/2))
=4(cos(x-y)/2)((cos(x+y)/2)+i(sin(x+y)/2))　……①
ここでα+βが実数であるから
sin(x+y)/2=0
さらに，0≦x＜2π, 0≦y＜2πであるから
0≦(x+y)/2＜2π
(x+y)/2=0となるのはx=y=0のときで，このときα=β=2となり，α+β+2=0より不適。よってα≠0, β≠0 であるから
0＜(x+y)/2＜2π
このときsin(x+y)/2=0をみたすのは
(x+y)/2=π
これと①より
α+β
=4(cos(x-y)/2)((cos(x+y)/2)+i(sin(x+y)/2))　……①
=4(cos(x-y)/2)(cosπ)　　（∵sin(x+y)/2=0）
=-4cos(x-y)/2
=-2
cos(x-y)/2=1/2
(x-y)/2=-π/3, π/3
x≦yであったから
(x-y)/2=-π/3
これと(x+y)/2=πから
x=(2/3)π, y=(4/3)π
となります。

このことから△ABCは点Oを重心とする正三角形であることがわかり，その面積は△OABの面積の３倍である。∠AOB=2π/3だからよって△ABCの面積は
((1/2)OA*OB*sin(2π/3))*3
=(1/2)*2*2*(√3/2)*3
=3√3　……答

以上です。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

α + β + 2 = 0 より
(α + β + 2) / 3 = 0
よって、三角形ABCの重心は原点Oである。
また、| α | = | β | = 2 より、3点A , B , Cはいずれも原点Oからの距離が2である。つまり、原点Oを中心とする半径2の円が三角形ABCの外接円であり、原点Oが三角形ABCの外心である。

重心と外心が一致するので、この三角形ABCは正三角形である。
よって求める面積は
△OAB + △OBC + △OCA
= { (1/2)・2・2・sin(2π/3) } ・3
= 3√3 …答