軌跡

質問

放物線y=x^2と直線y=x+a(a:定数)が異なる２点で交わるとし、それぞれの交点における放物線の接線をl1、l2とする。
（１）aの値が変化するときのl1、l2の交点の軌跡
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↑が回答の写真です。
判別式でaの範囲を求めた後
二交点α、βにおけるy=x^2の接線と出してる気がするのですが
どうしてこのように求められるかがわかりません。
文字がαとaとでて計算できないと思いますが、α、βにおける(3)の接線と求めないのですか？

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

傾きが m、点(x₁，x₂) を通る直線の方程式は
y-y₁=m(x-x₁)
つまり、
y=m(x-x₁)+y₁
になります。

このことを使うと、
y=f(x) 上の点(x₁， f(x₁))における接線の方程式は
y=f'(x₁)(x-x₁)+f(x₁) ・・・・・・(A)
になります。

接線の傾きは、微分することによって求めることができます。

(A)式を使って、
y=x^2 上の点(α，α^2) における接線の方程式は
y'=2x だから
y=2α(x-α)+α^2
これを、整理して
y=2αx-2α^2+α^2
y=2αx-α^2
になります。

同様にして、y=x^2 上の点(β，β^2) における接線の方程式は
y=2β(x-β)+β^2
これを、整理して
y=2βx-2β^2
になります。

(3)の式は、放物線 y=x^2 と直線 y=x+a の交点の x 座標 α、β を
求める方程式だから、接線の方程式とは関係がありません。

回答No.1

shintaro-2

接線の傾きは、元の放物線を微分して２ｘとなりますから、
２αと２βです。
それぞれ点、（α、α＾２）、（β、β^2）を通りますので
ｌ１はｙ＝２αｘ－α^2
ｌ２はｙ＝２βｘーβ^2となります。