数学 軌跡の質問です。

質問

xy平面上に二直線

l1:(a-1)x+ay-3a+1=0
l2:bx-(b-1)y-3b-1=0

がありl1とl2は垂直に交わっているものとする。

（１）二直線の交点Pの軌跡を求めよ。

交点Pがもとまらずつまずいてしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.5

noname#154783 · ベストアンサー

> aを消去して平方完成の手順がわからず、円の方程式がつくれません。
> どうすればよいのでしょうか？

実はその部分が（この問題の本質ではないにもかかわらず）決して難しいわけではないのですが，面倒なんです．それで少々端折ってしまったのですが...

(x + y - 3)a = x - 1, …(1)
(x - y - 3)a = 1 - y. …(2)

x + y - 3 = x - y - 3 = 0 の場合（すなわち(x,y) = (3,0)の場合）はANo.2に書いた通り(1)，(2)を同時に満たす a が存在しないので，(x,y) = (3,0) は軌跡として考えてはいけません．それ以外の場合は x + y - 3 と x - y - 3 の少なくとも一方は0でないはずです．

i) x + y - 3 ≠ 0 の場合．
(1)より a = (x - 1)/(x + y - 3).
これを(2)に代入すると，
(x - y - 3)(x - 1)/(x + y - 3) = 1 - y.
分母を払って
(x - y - 3)(x - 1) = (1 - y)(x + y - 3) …(*)

(*)を展開して整理すると
x^2 - 5x + y^2 - 3y + 6 = 0.
これを平方完成すると，
(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2
が得られます．

ただし，x + y - 3 ≠ 0 なので，(x,y) ≠ (1,2), (3,0).

ii) x - y - 3 ≠ 0 の場合．
(2)より a = (1 - y)/(x - y - 3).
これを(1)に代入すると，
(x + y - 3)(1 - y)/(x - y - 3) = x - 1.
この式の分母を払うとやはり(*)が得られますので，ii)の場合と同じ円の方程式が得られます．

ただし，x - y - 3 ≠ 0 なので，(x,y) ≠ (3,0), (4,1).

x + y - 3 と x - y - 3 の少なくとも一方が0でなければ，軌跡は考えられるので，求める軌跡はi)またはii)，すなわち

「(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2 かつ (x,y) ≠ (1,2), (3,0)」
または
「(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2 かつ (x,y) ≠ (3,0), (4,1)」

です．したがって，求める軌跡は
「(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2 かつ (x,y) ≠ (3,0)」
となります．

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つまり，計算だけなら(1)をaについて解いて，その結果を(2)に代入すればいいのですが，分母が0になる場合があるので，その辺りをうまく説明するのが難しいです．

ただ，この辺りの話はこの問題の本質ではないと思いますので，ANo.2に書かせていただいた程度にしてごまかしておくのがよいのではないかと思います（責任は持てませんが(苦笑)）．

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あと，
x^2 - 5x + y^2 - 3y + 6 = 0
の平方完成ですが
x^2 - 5x というのは (x - 5/2)^2 の定数項以外の部分と一致します．
ですから
x^2 - 5x
= (x^2 - 5x + (5/2)^2) - (5/2)^2
= (x - 5/2)^2 - (5/2)^2.

同様に
y^2 - 3y
= (y^2 - 3y + (3/2)^2) - (3/2)^2
= (y - 3/2)^2 - (3/2)^2.

したがって，
x^2 - 5x + y^2 - 3y + 6 = 0
(x - 5/2)^2 - (5/2)^2 + (y - 3/2)^2 - (3/2)^2 + 6 = 0
(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = -6 + (5/2)^2 + (3/2)^2 = 5/2.

お礼

詳しく書いていただいて、ありがとうございました。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の修正と補足です。

>(x-5/2)^2+(y-3/2)^2=5/2　…(B)　（a≠0,a≠1,b≠0,b≠1,x≠1,y≠1,y≠±(x-3）)
これは半径r=√(5/2)、中心座標(5/2,3/2)の円になる。
>導出過程で分母にでてきたa,b,x,yがあったのでこれらがゼロの場合については別扱いで扱う必要があります（a=b=0,=1の場合,x=1,y=1,y±(x-3)の場合）。
>最終的には軌跡は(B)の方程式で条件をはずしていいことになるかと思います。

とここまでは良いですが、a=b→∞のとき(x,y)→(3,0)となります。
したがって実数a,bが∞という数値を取らないと考えれば円（B)の方程式から
点(3,0)を除いた方が（#2さんの回答になるように）いいでしょうね。

（注)(x,y)=(3,0)をl1,l2に代入すると両方の式が成り立たないので(3,0)は交点になりえないし、この点に対応する有限なa,bの値が存在しません。（a,b）が実数であれば点(x,y)はl1,l2の交点になりえないとも言えます。

お礼

詳しく書いていただいてありがとうございました！

回答No.3

info22_

l1の傾きmは m=-(a-1)/a
l2の傾きnは n=b/(b-1)
直交条件mn=-1から
(1-a)b/(a(b-1))=-1
式を整理すると　
∴ a=b　…(A)

(x,y)をl1とl2の交点の座標とする。
このときl1,l2を交点の座標を使って(a,b)を求めると
a=(x-1)/(y+x-3)
b=(y-1)/(y-x+3)
求めたa,bを(A)に代入すれば
(x-1)/(y+x-3)=(y-1)/(y-x+3)
式を整理すると
x^2-5x+y^2-3y+6=0
これは円の方程式なので円の方程式の標準形に直すと
(x-5/2)^2+(y-3/2)^2=5/2　…(B)　（a≠0,a≠1,b≠0,b≠1,x≠1,y≠1,y≠±(x-3）)
これは半径r=√(5/2)、中心座標(5/2,3/2)の円になる。
(B)が求める軌跡の方程式になります。
導出過程で分母にでてきたa,b,x,yがあったのでこれらがゼロの場合については別扱いで扱う必要があります（a=b=0,=1の場合,x=1,y=1,y±(x-3)の場合）。
最終的には軌跡は(B)の方程式で条件をはずしていいことになるかと思います。

回答No.2

noname#154783

l1は n1 = (a-1, a) を法線ベクトルとする直線，
l2は n2 = (b, -(b-1)) を法線ベクトルとする直線．

l1とl2とが直交するということは，それぞれの法線ベクトル同士が直交するということであるから，
n1・n2 = 0
(a-1)b - a(b-1) = 0
∴ a = b.

交点Pの座標は，（上のa = bの結果を反映して）連立方程式
(a - 1)x + ay - 3a + 1 = 0,
ax - (a - 1)y - 3a - 1 = 0
の解(x,y)がPの座標なのであるが，どうせこのPの座標からaを消去して軌跡を求めることになるので，(x,y)について解かずに，連立方程式をaについて整理する：
(x + y - 3)a = x - 1, …(1)
(x - y - 3)a = 1 - y. …(2)

x + y - 3 = x - y - 3 = 0 のとき，すなわち (x,y) = (3,0) のとき，
(1)，(2)を満たす a は存在しない．

そうでなければ，(1)，(2)より a を消去して平方完成した方程式
(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2,
すなわち，中心(5/2,3/2)，半径(√10)/2の円上の点(x,y) (≠ (3,0)) に対して
必ず a が定まる．

※(3,0)はこの円上の点である．

したがって，求める軌跡は
中心(5/2,3/2)，半径(√10)/2の円
(x - 5/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2
から点(3,0)を除いたもの．

お礼

ありがとうございます。

質問なんですが、
aを消去して平方完成の手順がわからず、円の方程式がつくれません。
どうすればよいのでしょうか？

教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

Executione

与式を、
L1：y=m1x+n1
L2：y=m2x+n2
という形にして、直交条件m1m2=-1から、a,bの関係を求めます。

軌跡は、P点の座標を（X,Y)と置いて、XとYの関係を求めればいいと思います。

参考
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_kiseki.pdf
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1336340033

お礼

ありがとうございました！
参考資料のおかげでノート作りもうまくまとめられました。