成分表示によるベクトルの平行の証明

質問

零ベクトルでない2つのベクトル、→a(a1,a2)、→b(b1,b2)が存在するとき

→a//→b ならばa1b2-a2b1=0になることを証明せよ

という問題があります。
これの証明の仕方がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

ベクトルａ=(a1, a2) // ベクトルｂ=(b1, b2)
のとき、

ベクトルａ=k×ベクトルｂ

が成り立ちます。

これを成分の式で表して、
(a1, a2)=k(b1, b2)
　　　　 =(kb1, kb2)

これより、
a1=kb1 ・・・・・・（１）
a2=kb2 ・・・・・・（２）
が成り立ち、（１）より
k=a1/b1 ・・・・・・（１）’
（２）より
k=a2/b2 ・・・・・・（２）’
（１）’、（２）’より
a1/b1=a2/b2
両辺に b1b2 をかけて
a1b2=a2b1
よって
a1b2-a2b1=0
になります。

回答No.4

178-tall

< No.3 錯誤を訂正。

まず、
　a・b = a1b1 + a2b2　　… (1)

また、
　a//b
　　↓
　a・b = |a||b|*cos(θ) にて θ= 0 deg OR 180 deg
　　↓
　a・b = ±|a||b|
　　　 = ±{√(a1^2+a2^2) } * √(b1^2+b2^2) }　　… (2)

(1), (2) を等置すれば、
　a1b2 - a2b1 = 0
が得られます。

回答No.3

178-tall

(2 次元ベクトルの) 内積に注目した証明の一例でも…。
(ベクトルの矢印記号を省略。aa, b の内積を a・b と表記)

まず、
　a//b
　　↓
　a・b = a1b1 + a2b2　　… (1)

また、
　a//b
　　↓
　a・b = |a||b|*cos(θ) にて θ= 0 deg OR 180 deg
　　↓
　a・b = ±|a||b|
　　　 = ±{√(a1^2+a2^2) } * √(b1^2+b2^2) }　　… (2)

(1), (2) を等置すれば、
　a1b2 - a2b1 = 0
が得られます。

回答No.1

bran111

平行ということは方向が同じ、成分の比が同じということです。つまり

a1/a2=b1/b2

これより

a1b2-a2bi=0