ベクトル証明問題

質問

青チャート2+Bのベクトル分野の練習問題なのですが、
証明題なので答えが省略されていてわかりません。わかる方、証明過程を教えてください。

問題
（2a+3b）//(a-4b) , a≠0　, b≠0　, a≠bのとき、 a//bであることを示せ。
（※a,b,0のうえには→がついてます。）

よろしくおねがいします

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

仮定のうち，a≠bを省いて証明します．

（証）p=2a+3b,q=a-4bとおくと，p//qより，

(1)q=kp(k≠0，p≠0)

となる実数ｋが存在する．a,bをp,qで表してこの式を使うと，

a=(4p+3q)/11=(4p+3kp)/11=(3p/11)(k+4/3)
b=(p-2q)/11=(p/11)(1-2k)

p≠0であるから，a≠0,b≠0であるためにはk≠-4/3,k≠1/2となる．こうして，

b={(1-2k)/(3k+4)}a

とかけて，(1-2k)/(3k+4)≠0であるから，a//bである．（終）

※a=bとなりうるのは，k=-3/5の場合です．だから省きました．

お礼

ご回答ありがとうございます

解法までのだいたいの流れは掴めたのですが

b={(1-2k)/(3k+4)}a

この式はどのように導かれたのですか？

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．以下の2式

a=(4p+3q)/11=(4p+3kp)/11=(3p/11)(k+4/3)
b=(p-2q)/11=(p/11)(1-2k)

からp≠0を消去するだけです．具体的には，第1式からp=11a/{3(k+4/3)}=11a/(3k+4)を第2式に代入して，

b=[{11a/(3k+4)}/11](1-2k)=[a/(3k+4)](1-2k)={(1-2k)/(3k+4)}a

となります．

お礼

やっと理解できました！分かりやすい説明ありがとうございます

回答No.1

alice_44

ベクトル x,y が平行ならば、x,y の一次結合も x,y に平行です。
(x // y ⇒ x // y // αx+βy, α,βはスカラー)

これを使って、
2a+3b // a-4b // (4//11)(2a+3b)+(3/11)(a-4b) // (1/11)(2a+3b)+(-2/11)(a-4b)
が言えます。
右のほうの2個のベクトルを、括弧を展開して整理してみましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(4/11)(2a+3b)+(3/11)(a-4b)
の出し方がいまいちわからないのですがいろいろ検索して調べてみます。