ベクトル解析 証明問題

質問

この証明問題の解き方がわかりません。
右辺のa・[b,c]はどのようにして出てくるのでしょうか？
ベクトル解析初心者なので、わかりやすく教えてください

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

内積や外積の線形性, 内積の対称性や外積の交代性と
a・[b,c]=b・[c,a]=c・[a,b]
を使っていいなら, 何も考えず代入して計算していくだけです... まあ, 途中まで計算したら今度は証明したい式の右辺を計算していくのがいいと思う.

いずれにしても, 頭はほとんど使わなくっていい. ただただ計算するだけ.

しかし, 「どこに突っ込まれたか」が全く読めてないってのも, どんなものかねぇ.

お礼

ご回答ありがとうございます。
自分の勉強不足を感じました…。今後もベクトル解析の勉強頑張ります。

回答No.4

yyssaa

ずっとa,b,cは任意のベクトルだと考えていたので、右辺のa・[b,c]は何なんだろうと疑問に思っていました。
>
a,b,cを単位ベクトルとするのは勝手過ぎるようです。
であれば、連立方程式を解いて、a、b、cを
A、B、Cで表して計算することになると思います。

補足

ご助言ありがとうございます。
連立方程式を立ててa,b,cをA,B,Cで表してみましたが、係数が複雑で、混乱してしまいました。
この問題のヒントにはa・[b,c]=b・[c,a]=c・[a,b]を利用すると書いてあるのですが、どこで使うのかよくわかりません。

回答No.3

Tacosan

#2 は「a, b, c が (この順に, かな) 右手系をなす正規直交基底である」ことを仮定しているけど, これはいくらなんでも勝手すぎる.

内積や外積の線形性, あるいは内積の対称性とか外積の交代性はやってませんか?

補足

ご助言ありがとうございます。
内積や外積の性質は線形代数の授業で習いました。
この問題のヒントにはa・[b,c]=b・[c,a]=c・[a,b]の性質を利用すると書いてあるのですが、具体的にどのように利用するのかわかりません(模範解答は省略されています)。

回答No.2

yyssaa

小文字のlが紛らわしいのでLを使います。
A=L1a+m1b+n1c、B=L2a+m2b+n2c、C=L3a+m3b+n3c
左辺の［B,C］はベクトル積（外積）なので、
［B,C］=(m2n3-m3n2)a+(L3n2-L2n3)b+(L2m3-L3m2)c
です。
これとAとのスカラー積（内積）は
A・［B,C］=L1*(m2n3-m3n2)+m1*(L3n2-L2n3)+n1*(L2m3-L3m2)
=L1m2n3+L3m1n2+L2m3n1-L1m3n2-L2m1n3-L3m2n1
一方、右辺の［b,c］は単位ベクトルのベクトル積であり
［b,c］=a、従ってa・［b,c］=a・a=1となり
右辺は３行３列の行列式の値となります。
これを計算すると
L1m2n3+n1L2m3+n2m1L3-n1m2L3-L1m3n2-m1L2n3となり、
与式が成り立ちます。

補足

ご回答ありがとうございます。
ベクトルa,b,cは単位ベクトルとして考えてよいのですね？
ずっとa,b,cは任意のベクトルだと考えていたので、右辺のa・[b,c]は何なんだろうと疑問に思っていました。

回答No.1

spring135

外積[b,c]を作ってこれとaとの内積を作る。

お礼

ご助言ありがとうございます。
参考にさせていただきます。頑張ってチャレンジします。