ベクトル・証明

質問

この問題以降も似たような証明問題が続いていてどれも解けません。
ベクトルをあまり理解できていないのが一番の原因だとは分かっているのですが、
一つ解き方が分かれば後も考えられるような気がするので教えてください。よろしくおねがいします。

「 任意のベクトルa、bについて次のことを証明せよ。
(a－b)×(a＋b)＝2(a×b) 」　という問題です。

左辺＝|a|^2－|b|^2
右辺＝2a・b＝2|a|・|b|cosθ　…？
根本的に考え方が間違っているでしょうか？

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

>右辺＝2a・b＝2|a|・|b|cosθ　…？

これは内積を計算しているようですが、
問題は外積ではないですか？

ベクトルa,bを
a = (a1, a2, … , an), b =(b1, b2, …, bn)
とすると
a+b =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
a-b =(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)
内積　a・b = a1b1+a2b2+…+anbn
なので、

(a-b)・(a+b)
=(a1-b1)(a1+b1)+(a2-b2)(a2+b2)+…+(an-bn)(an+bn)
=(a1)^2 - (b1)^2 +(a2)^2 - (b2)^2+…+(an)^2 - (bn)^2
となり、2(a・b)と一致するとは思えないのですけど。

外積の定義は
ベクトルa,bを
a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
とすると
a×b = (a2b3-b2a3,a3b1-b3a1,a1b2-b1a2)
です。（内積はスカラーになりますが、外積はベクトルになります）

問題の「任意のベクトル」が3次元ベクトル（空間ベクトル）に限られるなら、
両辺の各成分を計算して比較すればOKだと思いますけど・・・
（上記定義を参考にご自分で計算してみてください）

お礼

回答ありがとうございます！
問題文が正しく、外積の問題でした。
＞左辺＝|a|^2－|b|^2
＞右辺＝2a・b＝2|a|・|b|cosθ　…？
は内積で頭がいっぱいだった私の戯言でした。お恥ずかしい限りです。

わざわざ計算までして下さってありがとうございました。
もう一度教科書と、回答頂いたことを参考にして自分で考えたいと思います。
その時に分からなかったらまた、よろしくお願いします。
ありがとうございました！

回答No.2

ranx

> 根本的に考え方が間違っているでしょうか？

根本的に考え方が間違っていると思います。

a×b は、外積またはベクトル積と呼ばれるものです。
質問者さんが書いた 2|a|・|b|cosθ は、内積またはスカラー積と呼ばれます。
別のものです。

お礼

回答ありがとうございます！
…やはりですか。No.1の回答者さんのＵＲＬにて違うことに気が付きました。
教科書をひっくり返して出直してきます。
ご指摘ありがとうございました！とても参考になりました。

回答No.1

key-KYO-tan

こんにちわ。
解答ではないですが、私が、ベクトルについてわかりやすい！と思ったサイトなので参考にしてみて下さい。

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/vx_index.htm

お礼

ありがとうございます！
参考ＵＲＬ拝見させていただきました。
ベクトルについての説明、とってもわかりやすかったです。
このサイトを見ていて思い出したのですが、a×bは a・b（内積）ではないんですね。
問題文の×は何を表しているのかすら分からなくなりました…この調子じゃますます自力で解けませんね；
回答ありがとうございました！