なぜ√zの定義には2葉のリーマン面が要るの?

質問

複素関数f(z)=√zでなぜリーマン面なるものを導入するのか分りません。

実関数の例ではf:R→2^R;f(y)={±√y}などが2価関数ですよね。この時の分枝は
(ア) g_1(y):=√yとg_2(y):=-√y
や
(イ) g_1(y):=√y if 0≦y<1,-√y if 1≦yとg_2(y):=-√y if 0≦y<1,√y if 1≦y
など色々,無数に定義できますよね。
そして出来るだけ不連続点や微分不能点が少なくなるように分枝を選ぶしきたり(?)なのですよね。よってf(y)={±√y}の例では(ア)を分枝とする。

さて,f(z)=√zに話を戻すと,普通に考えて,√zは極座標で定義されて2つの点{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}を表しますから
(z=0以外定義域の各点の像が単集合とならず複数元を持つ集合となる場合に多価関数と呼ぶ)
f:C→2^Cを
√z:={√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))} if z≠0, {0} if z=0. 但し,-π<θ≦π.
と定義すればいいのではないかと思います。
この時,簡単なために{z∈C;|z|=1}で話を進めると,

連続性に関しては
z=-1の時,θ=πで
lim_{z→-1}√z=lim_{θ→π-0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
=lim_{θ→π-0}{√|-1|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|-1|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
={±i}=f(-1)
であり,他方
lim_{θ→-π+0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
={±i}=f(-1)
なので,f(z)=√zはz=-1で連続。
lim_{z→0}f(z)=lim_{z→0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}={0}=f(0).
となるのでz)=√zはz=0でも連続。

微分可能性に関しては
d/dzf(z)|_{z=-1}=lim_{C∋h→0}(√(-1+h)-√-1)/h
=lim_{R∋h→-0}{[√|z|(cos((π+h)/2)+isin((π+h)/2))-|z|(cos(π/2)+isin(π/2))]/h,[√|z|(cos((π+h)/2+3π)+isin((π+h)/2+3π))-√|z|(cos(π/2+3π)+isin(π/2+3π))]/h}
={±i/2}
同様にlim_{R∋h→+0}の場合も
lim_{R∋h→+0}{[√|z|(cos((-π+h)/2)+isin((-π+h)/2))-|z|(cos(-π/2)+isin(-π/2))]/h,[√|z|(cos((-π+h)/2+3π)+isin((-π+h)/2+3π))-√|z|(cos(-π/2+3π)+isin(-π/2+3π))]/h}
={±i/2}となるのでf(z)=√zはC＼{0}で微分可能となります。

これではどうしてダメなのでしょうか?

どうしてarg(z)は(-π,π]と(π,3π]のわざわざ2価関数であるとして,2葉のリーマン面(C＼{0})^2が必要なのかわかりません。
1葉の面に2つとも載せたらどういう不都合が起こるのでしょうか?

回答No.14

jcpmutura

当初の質問の中で
微分可能性に関しては
…
√(-1+h)-√-1
…
の所で
√-1={±i}
は集合で
√(-1+h)
も集合なのだから
√(-1+h)-√-1
は集合同士の引き算になりますが
例えば
{a,b}-{c,d}={a-c,b-d}
と定義すると
a≠bのとき
{a,b}={b,a}
だけれども
{a,b}-{b,a}={a-b,b-a}≠{0,0}={a,b}-{a,b}
となって矛盾するから
√(-1+h)-√-1
が定義できないので、
微分が定義できないから
微分不可能となるので、
例え連続が定義できたとしても
微分ができません
{a,b}≠{b,a}
ならば
{a,b}は集合ではなくC^2の元となって
{i,-i}≠{-i,i}
となって
z=-1で不連続となります。
いずれにしても
√zが2価関数
√:C→2^C
ではダメです。

お礼

遅くなりまして大変申し訳ありません。お許しください。
あれから暫くまた考えておりました。

自分なりに纏めてみますと,
z=w^2なるwを√'zと表記し(√':C＼{0}→h(z,0)∪h(z,1),-π<Arg(z)≦π ),
√'z:=(√|z|,Arg(z)+[(Arg(z)+π)/(2π/2)]π)∈h(z,0)∪h(z,1) 但し,[ ]はガウスの記号.
と定義するのですね。
zが{z∈C;Im(z)≦0}＼(-∞,0]にある時,√'zはh(z,0)の元となり,
zが{z∈C;Im(z)≧0}＼[0,+∞)にある時,√'zはh(z,1)の元となる。
-√'zは√'zを原点対称なる点に移す記号なのですね。
又,(√|z|,0)=√|z|, (√|z|,π)=-√|z|が成り立つのですね。

これに倣うと,
z=w^n (n≧2)なるwを\sqrt[n]{z}'と表記し(\sqrt[n]{ }':C＼{0}→∪[k=0..n-1]h(z,k)),
\sqrt[n]{z}':=(\sqrt[n]{|z|},Arg(z)+[(Arg(z)+π)/(2π/n)]π)∈∪[k=0..n-1]h(z,k).
とn葉のリーマン面を使って,定義するのですね。

いかがでしょうか?

更にこれに倣って,ln(z)を定義しようとしたのですが,
ln( ):C＼{0}→∪[k=0..∞]h(z,k)
ln(z):=ln|z|+i(Arg(z)+2nπ)
=(ln|z|,???)
∈∪[k=0..∞]h(z,k).
という風にかけると思いますが,???の箇所はどのように書けるのでしょうか?

回答No.13

jcpmutura

参考書で
√z
を使う場合
-π<arg(z)≦π
に限るとか
π<arg(z)≦3π
に限るとか
必ず但し書きがついています。
-π<arg(z)≦π
に限ると書いてある場合は
zと(z,0)を同一視し
π<arg(z)≦3π
に限ると書いてある場合は
zと(z,1)を同一視しています。
そういう但し書きがなければ
それは単なる誤りです

回答No.12

jcpmutura

いいえ違います
どうしても√の定義域をC-{0}にしたいようですが
決して√の定義域はC-{0}ではありません
リーマン面を考える場合は
リーマン面
(C-{0})×{0,1}
を√の定義域として考えるのです。
したがって
リーマン面上の√は
√-1
√i
√-i
のように
√の引数に非負実数以外の複素数を書くのは誤りなのです
単に
√2
と書いたとき
√は非負実数から非負実数への写像として扱い
正実数2に対して
2の正2乗根
√2>0
を表します。

仮に
複素数zに対してzの偏角arg(z)を
-π<arg(z)≦π
に限って
√z=√(|z|e^{i*arg(z)})=(√|z|)e^{i*arg(z)/2}
と定義すると
√(-1)=√e^{iπ}=e^{iπ/2}=i
lim_{t→π-0}e^{it}=-1
lim_{t→π+0}e^{it}=-1
lim_{t→π-0}√e^{it}
↓-π<t≦πだから
=lim_{t→π-0}e^{it/2}=e^{iπ/2}=i=√(-1)
だけれども
lim_{t→π+0}√e^{it}
↓-π<t-2π≦πだから
=lim_{t→π+0}√e^{i(t-2π)}
=lim_{t→π+0}e^{i(t-2π)/2}
=lim_{t→π+0}e^{it/2-π}
=lim_{t→π+0}-e^{it/2}
=-i
≠i=√(-1)
この√は不連続となるので、
√の定義域をC-{0}とできません

一方
リーマン面では
(-1,0)の近傍はim(z)をzの虚数部として、0<ε<1とすると
{(z,1);|z+1|<ε,im(z)<0}∪{(z,0);|z+1|<ε,im(z)≧0}
と(C-{0})×{0}の上半平面と(C-{0})×{1}の下半平面の合併集合の部分集合に
なって
lim_{θ→π+0}√(e^{iθ},1)=i=√(-1,0)
lim_{θ→π-0}√(e^{iθ},0)=i=√(-1,0)
となって
(-1,0)で連続

(-1,1)の近傍は
{(z,1);|z+1|<ε,im(z)≧0}∪{(z,0);|z+1|<ε,im(z)<0}
と(C-{0})×{0}の下半平面と(C-{0})×{1}の上半平面の合併集合の部分集合に
となって
lim_{θ→π-0}√(e^{iθ},1)
=lim_{θ→π-0}√(e^{i(θ+2π)},1)
=lim_{θ→3π-0}√(e^{iθ},1)
=lim_{θ→3π-0}e^{iθ/2}
=-i=√(-1,1)

lim_{θ→π+0}√(e^{iθ},0)
=lim_{θ→π+0}√(e^{i(θ-2π)},0)
=lim_{θ→-π+0}√(e^{iθ},0)
=lim_{θ→-π+0}e^{iθ/2}
=-i=√(-1,1)
となって
(-1,1)で連続
となるので
(-1,0)と(-1,1)を別の点にする必要があるのです。

お礼

更に纏めると

√:[0,+∞)→[0,+∞). 例:√2はx^2=2を満たす正実数を意味する。

√":C→2^C. 例:√'(2)={√2(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√2(cos(θ/2+π)+isin(θ/2+π))}.。

√':(C＼{0})×{0,1}→C. 例:√'(2)という表記は意味不明で,√'(2,0)と√'(2,1)の二通りある.√"(2)={√'(2,0),√'(2,1)}の関係がある。

そして,
√"の定義が一番素朴な定義だが数学者リーマンは√"だとあまり大した(?)事もできないので√'を考案して,√'を複素数での平方根の新定義として取り入れようとした。

という解釈で正しいでしょうか?

補足

再度大変有難うございます。

記号って本当に難しいですね。

> どうしても√の定義域をC-{0}にしたいようですが
> 決して√の定義域はC-{0}ではありません

記号"√"とは厳密に一体何なのか。という疑問です。

参考書で使用されてる記号√の使い方自体が誤りである事が私が混乱してる最大の原因のようですが,話から察しますと,

(ロ)
写像√とは√:C→2^C;C∋∀z→√(z):={√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+π)+isin(θ/2+π))}
の事である.以上。

(ハ)
リーマン面上での記号"√",(ロ)の√と紛らわしいので区別する為に"√'"と表すことにしますとこの√'は
√':=f○hを意味してるのであり,
√':(C＼{0})×{0,1}→C;(C＼{0})×{0,1}∋∀(z,l)→√'(z,l):=√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)) if l=0,√|z|(cos(θ/2+π)+isin(θ/2+π)) if l=1.
と定義されるのですね。

よって,"√-i"と書いたら,(ロ)を意味するのですね。"√'(-(i,0))"という書き方(-( , )という記号は意味不明)は定義されてませんからね。

結論:
√と√'は全く異なる写像であるにも拘らず,参考書等では,ゴッチャにして使用してたのですね。

参考書等でゴッチャにして使用してあるのは√と√'とが同一視可能だからなのでしょうか?
うーん,どの元とどの元が一対一に対応してるのでしょうか?

回答No.11

jcpmutura

√
は
複素数平面Cから複素数平面Cへの
2価関数(Cから2^Cへの関数)
だからこれをもっと扱いやすく
√の定義域を
リーマン面
(C-{0})×{0,1}
に変えて
√:(C-{0})×{0,1}→(R+)×(-π,3π]→C
としたのです。
定義域を変えたのにもかかわらず
ほとんど多くの(全ての)教科書ではこれを
単に
w=√z
単に
定義域を変える前と同じ表現を使っていますが、
これは厳密には誤りなのです。
したがって、
単に
√2
と書いたとき
この2は
2つのリーマン面
(C-{0})×{0}
(C-{0})×{1}
のどちらの2だか不明なので
√2が定義できません。
リーマン面上の√は
√(2,0)=√2
√(2,1)=-√2
と定義します

補足

ご回答誠に有難うございます。

> √
> は
:
ほとんど多くの(全ての)教科書ではこれを
単に
w=√z
単に
定義域を変える前と同じ表現を使っていますが、
これは厳密には誤りなのです。

ふむふむ。これは非常に興味深いお話です。

> したがって、
> 単に
> √2
> と書いたとき
> この2は
> 2つのリーマン面
> (C-{0})×{0}
> (C-{0})×{1}
> のどちらの2だか不明なので
> √2が定義できません。
> リーマン面上の√は
> √(2,0)=√2
> √(2,1)=-√2
> と定義します

(ア)
え?? 　これは単に√2と書いたら,
√(2,0)=√2
-√(2,1)=√2
と定義すると仰ってるのでしょうか? ("-"は普通のマイナスの記号と捉えていいんですよね?)

よって, √2={√(2,0),-√(2,1)}={√|2|(cos0+isin0),-√|2|(cos(0+2π)+isin(0+2π)}={√|2|,-√|2|}となりますがこれでいいのでしょうか?
2価になってしまいますが、、、

(イ)
それとも,複素数で平方根を定義する際,√と-√という2種類の写像があると仰ってるのでしょうか?
もしそうなら,今,√という写像を定義してるのであって,-√という写像は定義しようとはしてませんよね。

(ア)を議論なさってるのであれば,
z∈C＼{0}に対して√z=√|z|となってしまい,非零の複素数の平方根は常に実数という変な事が起こってしまいますよね。

もし(イ)を議論なさってるのであれば,
-√のマイナスのような記号は混乱するので√'と表記する事にすれば
複素数の平方根"√"を定義するには"√'"という新たな写像を追加して
√:C＼{0}→M→C;C＼{0}∋∀z→√z:=h(z,0)
と
√';C＼{0}→M→C;C＼{0}∋∀z→√'z:=h(z,1)
すると仰ってるのでしょうか?

回答No.10

jcpmutura

追加します
f^{-1}(2)={(4,0),(4,2π)}
ではありません
(4,2π)∈f^{-1}(2)
を仮定すると
f(4,2π)=2
でなければなりませんが
f(4,2π)=(√4)e^{i2π/2}=2e^{iπ}=2*(-1)=-2
f(4,2π)=-2≠2=f(4,2π)
となって矛盾するから
(4,2π)∈f^{-1}(2)ではないから
f^{-1}(2)={(4,0)}≠{(4,0),(4,2π)}
です

hは(C-{0})×{0,1}から(R+)×(-π,3π]への写像で
hの定義域は(C-{0})×{0,1}
hの値域は(R+)×(-π,3π]
h:(C-{0})×{0,1}→(R+)×(-π,3π]
なので
2は(C-{0})×{0,1}の要素ではないので
h(2)は定義していません

h(2,0)=(2,0)
h(2,1)=(2,2π)
と定義しています

f(h(2,0))=(√2)e^{i0/2}=√2
f(h(2,1))=(√2)e^{i2π/2}=(√2)e^{iπ}=(√2)*(-1)=-√2
となります

補足

大変有難うございます。

> 追加します
> f^{-1}(2)={(4,0),(4,2π)}
> ではありません
> (4,2π)∈f^{-1}(2)
:
> f^{-1}(2)={(4,0)}≠{(4,0),(4,2π)}
> です

おっと,空目をしておりました。失礼致しました。

> hは(C-{0})×{0,1}から(R+)×(-π,3π]への写像で
> hの定義域は(C-{0})×{0,1}
> hの値域は(R+)×(-π,3π]
> h:(C-{0})×{0,1}→(R+)×(-π,3π]
> なので
> 2は(C-{0})×{0,1}の要素ではないので
> h(2)は定義していません

No.7にて
f○h:(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]→C
で√:=f○hと定義すると仰ってますよね。

,,なので√2=f○h(2)と書けますよね。従って,合成写像の定義から記号的には√2=f(h(2))と書かれる筈ですが,
h(2)は記号として成立たないので(∵2∈(C-{0})×{0,1}ではない),
√2という表記自体が意味不明なのでしょうか?

> h(2,0)=(2,0)
> h(2,1)=(2,2π)
> と定義しています

これについては記号的に矛盾も無く納得です。

> f(h(2,0))=(√2)e^{i0/2}=√2

これはf○h(2,0)=√(2)という意味ですね(√を写像の記号と踏まえてワザと√(2)と表記してます)。
なのでNo.7にて"√:=f○hと定義する"と仰ってるのは記号的に矛盾してるのではないでしょうか?

> f(h(2,1))=(√2)e^{i2π/2}=(√2)e^{iπ}=(√2)*(-1)=-√2
> となります

これについても,"√:=f○hと定義する"のであれば
-√2=-(f○h(2))と書かれるならh(2)という表記はおかしいですし、

"f(h(2,0))=(√2)e^{i0/2}=√2"を採用しますと,これから-√2=-f(h(2,0))と書かれる筈ですが,
今"f(h(2,1))=-√2"だと仰ってるのですから,
-f(h(2,0))=f(h(2,1))と書ける事になりますよね。これについては
-f(h(2,0))=-f(|2|,tan^-1(Im(2)/Re(2)))=-√|2|(cos(tan^-1(Im(2)/Re(2)))+isin(tan^-1(Im(2)/Re(2))))
=-√|2|(cos(tan^-1(0/2))+isin(tan^-1(0/2)))
=-√|2|(cos(tan^-1(0))+isin(tan^-1(0)))
=-√|2|(cos0+isin0)
=-√|2|・1
=-√|2|.
一方,
f(h(2,1))=f(|2|,tan^-1(Im(2)/Re(2))+2π)
=√|2|[cos((tan^-1(Im(2)/Re(2))+2π))+isin((tan^-1(Im(2)/Re(2))+2π))]
=√|2|[cos(0+2π)+isin(0+2π)]
=√|2|[cos(2π)+isin(2π)]
=-√|2|.
で上手くいってますね。

故に,√z:=f○h(|z|,0)=-f○h(|z|,1)という関係式が導けるのですね。

以上からNo.7の"√:=f○hと定義する"は"√・:=f○h(|・|,0)と定義する"と訂正すれば宜しいのでしょうか?

回答No.9

jcpmutura

f^{-1}(2)={(4,0),(4,2π)}
ではありません
f(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}
のθを2で割ってθ/2としているので
fによって2πはπに写像されます
e^{iπ}=-1
f(4,2π)=(√4)e^{i2π/2}=2e^{iπ}=2*(-1)=-2
f(4,2π)=-2
なので
f^{-1}(2)={(4,0)}≠{(4,0),(4,2π)}
です

回答No.8

jcpmutura

正実数r>0に対して(√r)を2価関数と誤解しているようなので訂正します。
正実数r>0に対して(√r)は2価関数ではありません
正実数r>0に対して(√r)は正2乗根(√r)>0を表します

R=(全実数の集合)
R+={r|r>0}=(正実数の集合)
(-π,3π]={θ|-π<θ≦3π}=(-πより大きく3π以下の実数区間)

M=(R+)×(-π,3π]={(r,θ)|0<r,-π<θ≦3π}⊂R^2
とする

f:M→C
を
f(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}
と定義すると
(r,θ)は正実数rと実数θの組であって複素数ではないので
正実数r>0に対して正2乗根(√r)>0が唯1つ存在し
実数θに対してcos(θ/2)が唯1つ存在し
実数θに対してsin(θ/2)が唯1つ存在し
実数θに対してe^{iθ/2}=cos(θ/2)+i*sin(θ/2)が唯1つ存在し
１組の実数rと実数θの組(r,θ)に対して唯1通りの複素数(√r)e^{iθ/2}が存在するので

fはR^2の部分集合MからCへの1価関数となります。

次に

h:A=(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]

h(z,0)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,-π<arg(z)≦πとなるもの)
h(z,1)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,π<arg(z)≦3πとなるもの)
と定義すると
z=|z|e^{i*arg(z)}で,-π<arg(z)≦πとなるarg(z)は1つしかないし
z=|z|e^{i*arg(z)}で,π<arg(z)≦3πとなるarg(z)は1つしかないので
hは1価関数となり
hは全単射となります

hとfの合成写像

f○h:A=(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]→C

は1価関数となるのでこの
f○h
を
√
と定義し
距離dを
{a,b}⊂Aのとき
d(a,b)=|f○h(a)-f○h(b)|
{a,b}⊂Mのとき
d(a,b)=|f(a)-f(b)|
とすればそれぞれ距離空間となります。

回答No.7

jcpmutura

「Mを極座標系で定義する」と言ったのが誤解を招いたようなので
「Mを極座標系で定義する」を取消します。
MをR^2の部分集合として定義します。

R=(全実数の集合)
R+={r|r>0}=(正実数の集合)
(-π,3π]={θ|-π<θ≦3π}=(-πより大きく3π以下の実数区間)

M=(R+)×(-π,3π]={(r,θ)|0<r,-π<θ≦3π}⊂R^2
とする

便宜上√の代わりにfを使います。

f:M→C
を
f(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}
と定義すると
(r,θ)は実数rと実数θの組であって複素数ではないので
１組の実数rと実数θの組(r,θ)に対して唯1通りの複素数(√r)e^{iθ/2}が存在するので

fはR^2の部分集合MからCへの1価関数となります。

次に

h:A=(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]

h(z,0)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,-π<arg(z)≦πとなるもの)
h(z,1)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,π<arg(z)≦3πとなるもの)
と定義すると
z=|z|e^{i*arg(z)}で,-π<arg(z)≦πとなるものは1つしかないし
z=|z|e^{i*arg(z)}で,π<arg(z)≦3πとなるものは1つしかないので
hはAからR^2の部分集合Mへの1価関数となり
hは全単射となります

hとfの合成写像

f○h:A=(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]→C

は1価関数となるのでこの
f○h
を
√
と定義し
距離dを
{a,b}⊂Aのとき
d(a,b)=|f○h(a)-f○h(b)|
{a,b}⊂Mのとき
d(a,b)=|f(a)-f(b)|
とすればそれぞれ距離空間となります。

補足

詳細なご説明大変恐縮しております。
だいぶ分かりかけてきました。

> f:M→C
> を
> f(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}
> と定義すると

このfは単射でありませんね。 2∈Cに対して,f^-1(2)={(4,0),(4,2π)}ですからね。
勿論,fは一価関数である事には納得します。

hが全単射である事も納得です。

>hとfの合成写像
> f○h:A=(C-{0})×{0,1}→M=(R+)×(-π,3π]→C
> は1価関数となるのでこの
> f○h
> を
> √
> と定義し

さて,この時√2∈Cの像はどうなるか追ってみますと,,,
√2=(f○h)(2)=f(h(2))となり,,,. 記号的にh(2)が定義されませんよね。

この不具合はどう解決すればいいのでしょうか?

回答No.6

jcpmutura

リーマン面の定義に誤解があるようです
リーマン面の集合は
(C-{0})^2
ではありません
2つの複素数平面
(C-{0})×{0}
(C-{0})×{1}
の合併集合
(C-{0})×{0,1}
がリーマン面の集合となります
√:(C-{0})×{0,1}→C
はリーマン面から複素平面への1価関数となります

C=(全複素数の集合)
R=(全実数の集合)
とすると
リーマン面の集合をMとすれば
M={(r,θ)|0<r,-π<θ≦3π}
とリーマン面を極座標系で定義する
√:M→C
√(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}
と定義する
任意の
{(r,α),(s,β)}⊂M
に対して
(r,α),(s,β)の距離dを
d((r,α),(s,β))
=|√(r,α)-√(s,β)|
=|(√r)e^{iα/2}-(√s)e^{iβ/2}|
と定義すると
dはMの距離となる
Cの距離でMの距離を定義したのだから
√は連続となる

A=(C-{0})×{0,1}
h:M→A
(r,θ)∈M
-π<θ≦πのときh(r,θ)=(re^{iθ},0)
π<θ≦3πのときh(r,θ)=(re^{iθ},1)
とすると
{(r,α),(s,β)}⊂M
h(r,α)=h(s,β)
→(re^{iα},t)=(se^{iβ},t)
→(r,α)=(s,β)
だからhは単射
任意の(z,j)∈Aに対して
z=|z|e^{iθ},-π<θ≦πとなるθがありh(|z|,θ)=(z,0)
z=|z|e^{iθ},π<θ≦3πとなるθがありh(|z|,θ)=(z,1)
だからhは全単射だから
hの逆写像h^{-1}がある
g=h^{-1}:A→M
とする
任意の
{(z,j),(w,k)}⊂A
対して
z=|z|e^{iα}
w=|w|e^{iβ}
(z,j),(w,k)の距離dを
d((z,j),(w,k))
=d(g(z,j),g(w,k))
=d((|z|,α),g(|w|,β))
=|(√|z|)e^{iα/2}-(√|w|)e^{iβ/2}|
と定義すれば
dはAの距離となる
Mの距離でAの距離を定義したのだから
AとMは同相となり
Aもリーマン面となる

lim_{θ→π+0}d((e^{iθ},1),(-1,0))
=lim_{θ→π+0}d((1,θ),(1,π))
=lim_{θ→π+0}|e^{iθ/2}-i|
=0

lim_{θ→π-0}d((e^{iθ},0),(-1,0))
=lim_{θ→π-0}d((1,θ),(1,π))
=lim_{θ→π-0}|e^{iθ/2}-i|
=0

(-1,0)の近傍はim(z)をzの虚数部とすると
{(z,1);|z+1|<ε,im(z)<0}∪{(z,0);|z+1|<ε,im(z)≧0}
となる

lim_{θ→π-0}d((e^{iθ},1),(-1,1))
↓θ+2π<3πだから
=lim_{θ→π-0}d((e^{i(θ+2π)},1),(-1,1))
=lim_{θ→3π-0}d((e^{iθ},1),(-1,1))
↓θ<3πだから
=lim_{θ→3π-0}d((1,θ),(1,3π)}
=lim_{θ→3π-0}|e^{i(θ/2)}+i|
=0

lim_{θ→π+0}d((e^{iθ},0),(-1,1))
↓-π<θ-2πだから
=lim_{θ→π+0}d((e^{i(θ-2π)},0),(-1,1))
=lim_{θ→-π+0}d((e^{iθ},0),(-1,1))
↓-π<θだから
=lim_{θ→-π+0}d((1,θ),(1,3π)}
=lim_{θ→-π+0}|e^{iθ/2}+i|
=0

(-1,1)の近傍は
{(z,1);|z+1|<ε,im(z)≧0}∪{(z,0);|z+1|<ε,im(z)<0}
となる

補足

遅くなりまして大変申し訳ありません。大変大変有難うございます。
何度も拝読したいましたが連続云々の話の前に√の厳密な定義について下記の様な矛盾を感じざる得ないのでおります。

> リーマン面の定義に誤解があるようです

トリッキーな集合ですよね。

> リーマン面の集合は
> (C-{0})^2
> ではありません
> 2つの複素数平面
> (C-{0})×{0}
> (C-{0})×{1}
> の合併集合
> (C-{0})×{0,1}
> がリーマン面の集合となります
> √:(C-{0})×{0,1}→C
> はリーマン面から複素平面への1価関数となります

便宜上,√:(C-{0})×{0,1}→Cをφ:(C-{0})×{0,1}→Cと表すことにすると,
(C-{0})×{0,1}∋(z,0)→φ(z,0),φ(z,1)をそれぞれ具体的にどう定義してあるのでしょうか?

α(z):=tan^-1(Im(z)/Re(z))∈(-π/2,π/2)と置いて,
[cos(α(z)+2nπ)+isin(α(z)+2nπ)]|_{n=0}
と
[cos(α(z)+2nπ)+isin(α(z)+2nπ))]|_{n=1}
とかと思いましたが,φの値域はアクマデも2^CではなくCなのですよね? これは矛盾に思えるのですが。。

> C=(全複素数の集合)
> R=(全実数の集合)
> とすると
> リーマン面の集合をMとすれば
> M={(r,θ)|0<r,-π<θ≦3π}
>とリーマン面を極座標系で定義する
> √:M→C
> √(r,θ)=(√r)e^{iθ/2}

この定義だと対応√の像(√r)e^{iθ/2}はCではなく2^Cの元になりますよね? おかしくないですか?

> と定義する

Mの定義については(C-{0})×{0,1}={(r,θ)|0<r,-π<θ≦3π}との事ですが,これは明らかに異なりますよね?
(同相関係も成り立たないと思います)
二通りのリーマン面Mの定義があるのですか?? 何か矛盾してるような。。すっきりしません。

参考書なども見ながら次のように仰ってるのかと推測させていただきました。

M:=R^+×(-π,3π]と書く事にして,
g:C＼{0}→R^+×(-π,3π];z→g(z):=(√|z|,{α(z)+2nπ∈C;n∈{0,1}}と極形式変換して
ここで
r(z):=√|z|と置く事にすると
ψ:R^+×(-π,3π]→2^C;g(z)→ψ(g(z)):={r(z)(cosα(z)+isinα(z)),r(z)(cos(α(z)+2π)+isin(α(z)+2π))}と定義することにすると
√:C＼{0}→2^Cを√:=ψgと定義すれば,
C＼{0}∋2→√2={√|2|,-√|2|}となり((-π/2,π/2)∋α(2)=0なので),
√2が複素数の世界では二つの値をとるという事に辻褄が合うと思いますが,値域がCではなく2^Cになってしまいますよね。。これも矛盾?...

纏めますと
√:定義域→値域;定義域∋z→√z:=??∈値域
の"値域"と??の箇所の厳密な表記を頂けましたら幸いでございます。

回答No.5

jcpmutura

f:C→C^2
f(z)=√z
-π<θ<π,z=|z|e^{iθ}
→f(z)=(√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)})
と定義すると

lim_{θ→π-0}f(e^{iθ})
=lim_{θ→π-0}(e^{iθ/2},e^{i(θ/2+π)})
=lim_{θ→π-0}(e^{iπ/2},e^{i(3π/2)})
=(i,-i)

lim_{θ→-π+0}f(e^{iθ})
=lim_{θ→-π+0}(e^{iθ/2},e^{i(θ/2+π)})
=lim_{θ→-π+0}(e^{-iπ/2},e^{iπ/2})
=(-i,i)

lim_{θ→π-0}e^{iθ}=-1=lim_{θ→-π+0}e^{iθ}
だけれども
lim_{θ→π-0}f(e^{iθ})=(i,-i)≠(-i,i)=lim_{θ→-π+0}f(e^{iθ})
だから
f(-1)=√-1が定義できません

{i,-i}
が集合の場合は
{i,-i}={-i,i}∈2^C=(Cの全部分集合の集合)
だけれども
(i,-i)∈C^2
の場合は
(i,-i)≠(-i,i)
となります

C^2はユークリッド空間だけれども
M={A∈2^C;Aの要素数|A|は有限個}
は多様体(局所ユークリッド空間)になりません
2^C内に通常の距離を定義できません

f:C→C^2
f(z)=√z=(√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)})
の場合f(-1)=√-1が定義できません

f:C→2^C
f(z)=√z={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
の場合2^Cが多様体(局所ユークリッド空間)でないし
2^C内に通常の距離を定義できません

リーマン面をDとする
f:D→C
f(z)=√z=√|z|e^{iθ/2}
の場合
リーマン面D上の点zは
Cと同相な近傍を持つので
リーマン面Dは
多様体(局所ユークリッド空間)なので
C上の1点zの近傍Uzでは
1対1対応の関数
f:Uz～C→C～f(Uz)
として扱うことができます