f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示

質問

f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示せ。

解答
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能。
z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、
z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。

…と載っているんですが、
lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
の、いきなりz~になるところが分かりません。
どうやってz~を導くのか教えて下さい。
それと、この場合、f(0)で極限値をもてば、
z=0において微分可能と呼べるんですよね？
lim[z->0] z~の極限値は0ということでいいですか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

上は f(0) = 0 だから単純に f(z) / z を計算するだけ. z = x + iy とでもおいてみればわかる.
下はちゃんと自分で示せばいい.

お礼

実は質問直後に閃きました：

f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] {|z|^2-|0|^2}/z
= lim[z->0] {|z|^2}/z
= lim[z->0] {zz~}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能、ということですね。

回答してくださったz=x+iyとおいた場合も計算しておきます：
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/(x+iy)
= lim[z->0] {√(x^2+y^2)^2-√(0^2+0^2)^2}/(x+iy)
= lim[z->0] {x^2+y^2}/(x+iy)
= lim[z->0] (x+iy)(x-iy)/(x+iy)
= lim[z->0] (x-iy)
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能、ということですね。

下はz=0を代入するだけですから、極限値は0ですね。
（次に「正則ではない」の証明についての質問をしますので、そちらも宜しくお願いします）
ありがとうございました！