複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて

質問

複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて
|z|=1 よりz=cosθ+ｉsinθ とおきました。
すると、dz/dθ=-sinθ+ｉcosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+ｉsinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+ｉsinθ)となり、上手く進みません。
ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。

回答No.1

post_iso · ベストアンサー

cos(z)をテーラー展開すると
cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-…
なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると

cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-…

となります。

そして
∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)
を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります

ちなみに
∫[c]z^{-1}dz=2πi
という公式もあります。

求め方は
I=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1]
に対し
z=e^{iθ}
とおくと
dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π)
なので
I=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ

n=-1のときは
I=i∫[0→2π]dθ=2πi
n!=-1のときは
I=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
=(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0

お礼

post_iso様ありがとうございました。留数を用いることで、答えを導くことができました。

補足

アドバイスありがとうございます。∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)が理解できません。
n!=-1 はどのように理解すればよろしいのでしょうか？。∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)はどのように導かれるのでしょうか？
お手数おかけ致しますが、ご助言の程よろしくお願い致します。