接線の定義を少し変形すると

質問

連続関数f(x)があるとします。

x=aにおける微分係数（接線の傾き）f'(a)は、
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/{(a+h)-(a)}
が存在したときの値で定義されます。

これを少し変形して、
lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
とすると、f'(a)との関係はどうなるのでしょうか？

片方だけが存在して、他方が存在しない例はあるのでしょうか？
両方とも存在するときは、その値も等しくなるのでしょうか？

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

面白いこと考えましたね。

> lim[h→0,k→0]
> は正確には、
> lim[(h,k)→(0,0),h≠k]
> と考えることができると思います。(ANo.2のコメント）

　するといろんな近づき方がある訳で、近づき方に依存するような変なことが起こったりしないかな？そこんとこをきちんと証明しないとwell-definedとは言えないでしょう。「コーシー列」かなんかの議論と関係しそうだな。

　それはさておき、
f(x) = sin(x) / x (x=0のときは定義されない）
だの
f(x) = (x=0のとき1、さもなくば0）
を考えてみれば、x=0において、普通の微分 f'(0)は存在しないが、仰る意味での拡張された微分は存在する。
　なんだかルベーグ積分に出てくるa.e.(almost everywhere。「零集合を除く」という概念)に似ているような気がするが、しかしながら、
f(x) = (xが有理数のとき1、さもなくば0)
となると拡張された微分も存在しないから、a.e.ほどの威力はなさそう。

回答No.7

tsukita

回答者No.2です。

やっぱり、この話題は奥が深いですね～
みなさんのコメントを読んで、No.2で自分が言ったことが間違いであることに気が付きました。

lim[h→0,k→0]はkとhの+から-からの極限だけではなく、（h座標とk座標）の実数平面を考えて、あらゆる方向からの点(k,h)の(0,0)への近付き方を考えるのが自然ですね。

ただし、直線h=kを通過する近付き方は何を意味するのでしょうか。
well-defindの定義あるのでしょうか。本当におもしろいトピックだと思います。

回答No.5

Tacosan

お～, 見事にこけてますな. k > 0 のケースを完全に忘れとる.
そうか, 導関数の連続性が必要な可能性がありますね.

回答No.4

Tacosan

下の極限を (h, k) → (0, 0) と解釈すると, 下が存在するときに上も存在して 2つの極限が一致することは自明 (先に k を 0 にしてから h を 0 にする経路を考えればいいだけ).
逆に上の極限が存在すると仮定すると, 定義から
任意の ε>0 に対し δ>0 が存在し, 任意の h (|h| < δ) に対し
|[f(a+h) - f(a)]/h - M| ≦ ε.
つまり
M-ε ≦ [f(a+h) - f(a)]/h ≦ M+ε.
ここで h > 0 なら分母をはらって
(M-ε)h ≦ f(a+h) - f(a) ≦ (M+ε)h.
h < 0 なら
-(M-ε)h ≦ f(a) - f(a+h) ≦ -(M+ε)h.
下の式で h を k に置き換えてから辺々加えると
(M-ε)(h-k) ≦ f(a+h) - f(a+k) ≦ (M+ε)(h-k). h-k の正負に無関係に
M-ε ≦ [f(a+h) - f(a+k)]/[(a+h) - (a+k)] ≦ M+ε
とでき, これは下の極限が存在しその値が M であることを意味する.... 証明として完成してる? なんとなくどこかに穴があるような気もする.

回答No.3

ichiro-hot

●不連続な点では微分不可能なことはいいと思うけど、
　連続だが、微分不可能のことがある。
　例：ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜　は　ｘ＝０で連続だが　ｆ’（０）は存在しない。

●lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
条件の設定が不十分です。というのは次の2つの可能性がある。

１）ｈ＝ｋのとき，{(a+h)-(a+k)}＝０
　　関数の定義が成り立たない！！　

２）０＜｜ｈ｜＜｜ｋ｜としよう。
このとき，ｆ（ｘ）がx=aで微分可能；
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/{(a+h)-(a)}＝f'(a)
が存在すれば，次の証明が成り立つ。

－１＜ｍ＝ｈ/ｋ＜＋１，ｍ≠０　　（∵０＜｜ｈ｜/｜ｋ｜＜１　）
　ｈ＝ｋｍ　とおくことができる。

lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
＝lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a)}-{f(a+k)-ｆ(a)}/{h-k}
＝lim[,k→0]{f(a+km)-f(a)}-{f(a+k)-ｆ(a)}/{km-k}
＝lim[,k→0][ ｛f(a+km)-f(a) ｝-｛ f(a+k)-ｆ(a) ｝]/{(m-1)k}
＝lim[,k→0]｛f(a+km)-f(a) ｝/{(m-1)k}－lim[,k→0]｛ f(a+k)-ｆ(a) ｝]/{(m-1)k}
ここで，
lim[,k→0]｛f(a+km)-f(a) ｝/{(m-1)k}
＝lim[,k→0]　[｛f(a+km)-f(a) ｝/km]・{km/(m-1)k}
＝ｆ’(a)・{m/(m-1)}　
同様に，
lim[,k→0]｛ f(a+k)-F(a) ｝]/{(m-1)k}
＝lim[,k→0]　[｛ f(a+k)-F(a) ｝/ｋ]{ｋ/(m-1)k}
＝ｆ’(a)・{１/(m-1)}　
よって，
lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
＝ｆ’(a)・{m/(m-1)}－ｆ’(a)・{１/(m-1)}
＝　ｆ’(a)・{m/(m-1)}－ｆ’(a)・{１/(m-1)}
＝　ｆ’(a)・{（m-１）/(m-1)}＝　ｆ’(a)

お礼

ありがとうございます。
ただ、ｍは定数ではない（mは変数h,kに依存する）ために、貴殿の計算は違っていると思われます。

回答No.2

tsukita

私もあまり考えていませんが、
少なくとも、h→0,k→0の場合には、
lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
の定義をしないとだめではないでしょうか。

lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/{(a+h)-(a)}
では左極限、右極限を定義したように、
h→0,k→0の場合には
（１）h→+0,k→+0
（２）h→+0,k→-0
（３）h→-0,k→+0
（４）h→-0,k→-0
を考え、（１）～（４）の値が全て等しいときに初めて
lim[h→0,k→0]{f(a+h)-f(a+k)}/{(a+h)-(a+k)}
の値をf~(a)と表すみたいに。。。

ただ、上記の定義をしたとして、一般のf'(a)とf~(a)が異なる関数があるのか、確かに気になります。私はすぐにはわかりそうにないです。

お礼

lim[h→0,k→0]
は正確には、
lim[(h,k)→(0,0),h≠k]
と考えることができると思います。

回答No.1

Tacosan

あんまりまじめに考えてないけど
・上の極限が存在すれば下の極限も存在して値は同じ.
・下の極限が存在するときには上の極限も存在し値は等しい.
となるんじゃないかなぁ.

お礼

ありがとうございます。
ただ、まったく、しっくりこないです。すみません。