２変数関数の連続性

質問

f(x,y)={x^2(x^3+y)}/{x^4+y^2} (原点以外)
f(0,0)=0

といった関数があったときに、このf(x,y)は原点で不連続なのでしょうか。

x=r cosθ
y=r sinθ
(以下sin = s, cos = cと書きます)
と置換し計算すると、
lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=lim_{r→0}f(rcosθ,rsinθ) =lim_{r→0}{c^2(r^3c^3+rs)}/{r^2c^4+s^2}
はθに依らず０に収束し原点で連続になってしまうような気がするのですがどうでしょう。これは不連続になるようですが（解答より）なぜなんでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

疑問の点はおそらく原点への（ｘ、ｙ）の近づき方にあると思います。質問者さんの近づき方は原点を中心として放射線状に（角度θを一定にしてｒだけ０に収束）近づけていますが原点への近づき方はそれだけではありません。y=x^2という曲線上で０に近づくこともあればＮｏ．１さんのようにy^2=xという曲線上で近づくこともあるわけです。ここが一次関数の連続性と大きく違うところですね。特にこのy^2=xという曲線上の点における関数ｆの値を見ていけば原点で連続ではないことが分かります。

お礼

ありがとうございます。おかげさまで解決いたしました。

回答No.3

noname#24819

発想は面白いですが，結論が間違っています。
たしかに，x,yを三角関数で置換すると，
c^2(r^3c^3+rs)}/{r^2c^4+s^2}
となり，この式のrを0に収束させると，
0/(sinθ)^2
となります。
θに依存せず，これは0に収束するじゃないか！と思われるかもしれませんが，θ=0,πの場合も本当に0に収束するといえますか？この式からでは判断できませんよね。
#1の方のように，素直にε-δ論法で考えるのが一番良いと思います。

お礼

ありがとうございます。これで疑問点がすっきりしました。

回答No.1

guuman

f(ε,ε^2)=(ε+1)/2

お礼

ありがとうございます。