数学Aの夏休みの宿題がわかりません。

質問

子ども10人、大人5人の中から5人を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。
（1）すべての選び方
（2）子ども3人、大人2人を選ぶ
（3）特定の2人AとBが含まれる
（4）大人が少なくとも1人含まれる

回答No.1

atkh404185

n 個のものから r 個とる組合せの数は

　　　nＣr=nＰr/r!

です。

（1）すべての選び方

子ども１０人と大人５人を合わせた１５人の中から５人を選ぶことになるから、

15Ｃ5=15×14×13×12×11/5×4×3×2×1

=3003 （通り）

（2）子ども3人、大人2人を選ぶ

子ども３人は１０人の中から、大人２人は５人の中から選ぶことになるから、

10Ｃ3×5Ｃ2=(10×9×8/3×2×1)×(5×4/2×1)

=1200 （通り）

（3）特定の2人AとBが含まれる

５人のうち、２人はＡ、Ｂだから、残り３人をＡ、Ｂを除いた１３人の中から
選べばよいから、

13Ｃ3=13×12×11×/3×2×1

=286 （通り）

（4）大人が少なくとも1人含まれる

５人を選んだとき、５人の内訳は

（ア）　子ども０人、大人５人
（イ）　子ども１人、大人４人
（ウ）　子ども２人、大人３人
（エ）　子ども３人、大人２人
（オ）　子ども４人、大人１人
（カ）　子ども５人、大人０人

の６通りあります。

「大人が少なくとも1人含まれる」は、

（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）、（オ）

の５つの場合です。

この５つの場合の数をそれぞれ求めてたせばよいのですが、

この５つの場合の数をそれぞれ求めるのは、大変ですね。

（エ）の場合は（２）で求めているので実際はあと４つの場合です。

それでも、大変ですね。

解き方のポイントですが、

（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）、（オ）、（カ）

の場合の数をすべてたすと、

（１）で求めた　3003 通りになります。

だから、この 3003 通りから（カ）の場合の数を引けば

（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）、（オ）の場合の数をたした数になります。

ということで、

（カ）の場合の数は（子ども５人を選ぶ場合の数は）

10Ｃ5=10×98×7×6/5×4×3×2×1

=252 （通り）

したがって、求める場合の数は、

3003-252=2751 （通り）

になります。