バームクーヘン法と置換積分

質問

y軸回転についてですが、逆関数をとることが難しい場合、∫πx^2f'(x)dxと置換して解くというのがありますが、これとバームクーヘン法で求める答えは同じになりますよね？
y=e^xの場合、∫(1→e^2)πx^2dyを求めるのに置換した場合、∫(0→2)πx^2e^xdx=2π(e^2-1)となりますがバームクーヘン法でやる場合、∫(0→2)２πxe^xdx=2π(e^+1)になるのですが、どこがおかしいのでしょうか？

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

y のとりうる値の範囲は

0く＝yく=e^2

だから、

x=x,x=x+dx

で、切り取った図形を　y 軸に関して 1 回転させて
ドーナツ状にして、それを切って伸ばすと、

縦が、(x+dx)-x=dx

横が、ドーナツ状の内径 2πx

高さが、e^2-e^x　（← ここが間違えているのでは？
）　

の直方体

とみなすことができるから、

∫[0→2]2πx(e^2-e^x)dx

になるのではないでしょうか。

回答No.3

atkh404185

すみません

y のとりうる値の範囲は、

1<=y<=e^2

です。

この、

e^2

を忘れていたのではないでしょうか。

グラフを描いて、確かめて下さい。

回答No.1

f272

> ∫(0→2)２πxe^xdx=2π(e^+1)になる

計算を間違っているだけです。

補足

すみません、2π(e^2+1)でした。けど、何回やっても上記の答えにしかならないです泣