常微分方程式

質問

dy/dx=xe^2yの問題で、答えがx^2 +e^-2y =cとなっているのですが、どうしてこうなるのかわかりません。教えてください。お願いします。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

次の公式を使います。
指数関数の積分公式（C1は積分定数）
　∫e^(ax)dx=(1/a)e^(ax)＋C1　(1)
指数関数の公式
　1/e^(ax)=e^(-ax)　(2)

与式dy/dx=xe^(2y)の両辺をe^(2y)で割り、整理すると
　e^(-2y)dy=xdx　(3)
となります。そこで(3)を積分すると
　∫e^(-2y)dy=∫xdx　(4)
(4)の左辺は公式(1)より-(1/2)e^(-2y)＋C1
(4)の右辺はC2を積分定数として(1/2)x^2＋C2
となりますね。つまり、
　-(1/2)e^(-2y)＋C1=(1/2)x^2＋C2　(5)
(5)を整理すると
　x^2+e^(-2y)=2(C1-C2)　(6)
右辺の定数2(C1-C2)を改めて定数Cとすると
　x^2+e^(-2y)=C
となります。

お礼

適切な回答本当にありがとうございました。なんども説明していただき申し訳ありませんでした。

回答No.4

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NO2です。
1/2は両辺に出てくるので、
両辺を2倍すればいいです。

cは定数なので、2倍しても定数であることには違いはありません。
ですので、答えの通りとなります。

お礼

すっかりCが定数だということを忘れていました。ありがとうございます。

回答No.2

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e^(2y)で両辺を割ってxで積分してみてはどうですか？
右辺はxの積分、
左辺はyの積分になって、
計算できますよ。

補足

申し訳ないのですが、両方積分してみると1/2が出てくるのですが、それはどうしたらよいでしょうか？

回答No.1

masa072

両辺に、dxとe^-2yをかけましょう。
すると、
e^-2y*dy=x*dxとなります。
両辺を積分すると…
もう大丈夫ですね。

ちなみにc（積分定数）は、「ある定数（c∈R）」なので、最後にｃになるように置きましょう。
（例えば最初はc1と置いて、答のように式変形したときにc=αc1(α∈R)と置きましょう）

補足

申し訳ないのですが、両方積分してみると1/2が出てくるのですが、それはどうしたらよいでしょうか？