微分方程式の問題です

質問

接線のｘ切片が接点のｘ座標の2倍に等しい曲線群の方程式を求めよ。とゆう問題なんですが分かりません。詳しい方教えてください。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃１fushigichanです。
＞こうゆう問題を解く指針みたいなものってありますか？

そうですね・・やはり、パターンを覚えてしまうのが一番の近道だと思います。

微分方程式とは、
dy/dx=f(x,y)
の形になっている方程式ですが、例えば

dy/dx=1/x
という微分方程式があるとすると、この両辺をxで積分することによって
y=∫1/x*dx=log|x|+C
と容易に求まることが分かると思います。

さて、これが、ｙのみの式だったら、どうなるでしょうか。例えば
dy/dx=ay(a:定数)とします。
y=0のとき、y'=0ですから上の式は成り立っています。
さて、y≠0のとき
(1/y)*(dy/dx)=a
この両辺をxについて積分します。
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫adx
log|y|=ax+C
|y|=e^(ax+C)=e^C*e^(ax)
y=±e^C*e^(ax)
ここで、±e^C=Aと、おきますと、Ａは０でない定数で
y=Ae^(ax)
と、書くことができます。

さて、boinder5さんのご質問された問題では、x,yの両方が出てきています。
本問では、y/x=z,とおくのがポイントです。

あと、ややこしそうな微分方程式では、定数になっているものを
定数Ｃと最初に置き換えてみると、簡単になることがあります。

微分方程式・・・確かにややこしく、難しい単元です。
しかし、微分方程式を解くことができたら、微積分はほぼ制圧したと思ってよいので
是非、頑張ってください！！

お礼

どうもご丁寧にありがとうございます。m(._.)mアリガト
不思議ちゃんさん（アグネスチャンさんみたいになってしまいましたが…）のアドバイスによってなんとなく方向性が見えてきました。この調子で精進していこうと思います。ありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

グラフの方程式を
ｙ＝ｆ（ｘ）
接点の座標を
（ａ，ｆ（ａ））と置くと

接線の方程式は
ｙ－ｆ（ａ）＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）
ｘ切片はｙ＝０としてｘを求めると
ｘ＝｛－ｆ（ａ）/ｆ’（ａ）｝＋ａ
問題の条件より
ｘ切片＝２ａだから
｛－ｆ（ａ）/ｆ’（ａ）｝＋ａ＝２ａ
よって
｛－ｆ（ａ）/ｆ’（ａ）｝＝ａ

変数をａと見て、この微分方程式を解く

逆数を取れば
－ｆ’（ａ）／ｆ（ａ）＝１／ａ

両辺積分して

－log｜ｆ（ａ）｜＝log|a|＋Ａ　　　　Ａは定数
　　　　　　　　　＝log｜Ｂａ｜　　（ｅ＾Ａをあらためて定数Ｂとした）

１／ｆ（ａ）＝（Ｂａ）

ｆ（ａ）＝１／（Ｂａ）
ａをｘに直して
ｆ（ｘ）＝１／（Ｂｘ）　（１／ＢをあらためてＣと直すと）

答　ｆ（ｘ）＝Ｃ／ｘ　　（Ｃは定数）

いまは定数をＡ，Ｂ，Ｃと順番に変えたがどのみち定数だから
全部Ｃぐらいで通すことも多い

お礼

早速答えていただいてありがとうございます。
この問題に関してはバッチリ分かりました。
もうすぐテストがあるんですけど、この手の問題がくるとあんまり解ける気がしません。
こうゆう問題を解く指針みたいなものってありますか？

回答No.1

fushigichan

boinder5さん、こんにちは。

y=f(x)上の点(a,f(a))での接線の傾きは、f'(a)です。
このときの、接線の方程式は
y-f(a)=f'(a){x-a}・・・（☆）
ここで、ｘ切片とは、ｙ座標が０のときのｘ座標のことですから、
（☆）にｙ＝０を代入します。
-f(a)=f'(a){x-a}
a*f'(a)-f(a)=f'(a)x
f'(a)≠0かつ、{a*f'(a)-f(a)}/f'(a)=x
x=a-f(a)/f'(a)　　　　となります。
ここで、このｘ座標は、接点の座標aの２倍に等しいので
2a=x=a-f(a)/f'(a)が成り立ちます。
つまり、一般に、
2x=x-f(x)/f'(x)という微分方程式を満たすような
曲線群y=f(x)を求めればよいことになります。

上の式より、
f(x)/f'(x)=-x
-1/x=f'(x)/f(x)
ここで、y/x=zとおくと、y=xz
この両辺を微分すると、
dy/dx=z+x*dz/dx・・・（★）

さて-1/x=f'(x)/f(x)ですから
-1/x=dy/dx*(1/y)
dy/dx=-y/x=-z・・・（★★）

（★）と（★★）から
z+x*dz/dx=-z
x*dz/dx=-2z
1/z*dz=-2*(1/x)*dx
この両辺を積分すると、
log|z|=log|x|^(-2)+C[1] 　　C[1]は定数
z=±C/x^2　　Ｃは定数
z=y/x=±C/x^2より、
y=±C/x・・・（答え）

となると思います。

お礼

早速答えていただいてありがとうございます。
この問題に関してはバッチリ分かりました。
もうすぐテストがあるんですけど、この手の問題がくるとあんまり解ける気がしません。
こうゆう問題を解く指針みたいなものってありますか？