微分方程式の問題です

質問

写真の問題ですが、解答の検討がつきません。
どなたか詳しい方教えてほしいです。

回答No.1

bran111

(1)

d^2φ/dr^2+(5/r)dφ/dr+4φ/r^2=0 (*1)

変数変換　r=e^t を行う。よって

t=logr, dt/dr=1/r=e^(-t)

dφ/dr=(dφ/dt)(dt/dr)=e^(-t)dφ/dt=(1/r)dφ/dt=P

d^2φ/dr^2=d(dφ/dr)/dr=dP/dr=(dP/dt)(dt/dr)=e^(-t)d[e^(-t)dφ/dt]/dt

=e^(-t)[-e^(-t)dφ/dt+e^(-t)d^2φ/dt^2]=(1/r^2)[d^2φ/dt^2-dφ/dt

dφ/dr, d^2φ/dr^2を(*1)に代入。

d^2φ/dr^2+(5/r)dφ/dr+4φ/r=(1/r^2)[d^2φ/dt^2-dφ/dt]+(5/r^2)dφ/dt+4φ/r^2=0

整理して

d^2φ/dt^2+4dφ/dt+4φ=0 (*2)

(2)

(*2)は定数係数2階線形斉次方程式である。特性方程式

D^2+4D+4=(D+2)^2

は重根-2を持つ。

よって（*2）の一般解は

φ=(a+bt)e^(-2t)=(a+blogr)/r^2, (a,bは定数)

である。

お礼

いつもいつもありがとうございます。(^^)