微分方程式の問題がわかりません

質問

y´´+2y´+y=25sins2x ,y（0）=y´（0）=0 をとけという問題です。（下が解答です）
Y´´+2Y´+Y=25e^2ix　をといてy=ImYとすればよい。（i=虚数単位）
Y=ae^2ix　にして代入する　　　
左辺=（-4a+4ia+a）e^2ix
=（-3+4i）ae^2ix
=25e^2ix であればよい。
　　（-3+4i）a=25
a=25/-3+4i=-3-4i
・・・・・以降は省略。
本の解答を見たのですが、
(1)（-4a+4ia+a）という式はどこから出てきたのでしょうか？
(2)a=25/-3+4i=-3-4iの式で25/-3+4iがなぜ-3-4iになるのでしょうか？
教えてください

回答No.1

yasu2209 · ベストアンサー

（１）は

(ae^2ix)'' + 2(ae^2ix)' +(ae^2ix)
= 2ia((ae^2ix)' + 2*2ia*ae^2ix +(ae^2ix)
= 2ia*2i*ae^2ix + 4i*ae^2ix +(ae^2ix)
=( -4a + 4ia + a )e^2ix

ですね。

（２）は

25/-3+4iの分母・分子に(-3-4i)を掛けてください。

　25*(-3-4i)/{（-3+4i)(-3-4i)}
= 25*(-3-4i)/(　　9 + 16 ) ←　(a+b)(a-b)=a^2-b^2　を使う
= -3-4i

分母からiを消すには？　と考えると　(a+b)(a-b)=a^2-b^2　を使うことが思いつくはずです。