全微分方程式の問題

質問

次の問題について、

ydx-(x^2+y^2+x)dy=0

の答えに至るまでの過程を教えてください。

解答例はtan^(-1)x/y-y=Cです。

お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

微分方程式の求積は、体系的な知識ではない、職人芸ですからね。
式をイロイロいじってみて、何か気がつくかどうかの問題でしょう。
今回のように「解答」が与えられているときには、答えのほうから
逆算して解法を見つけることも、一策かもしれません。

対称性を大切にしながら、与式を ydx - xdy = (x^2+y^2)dy と
変形してみることがあったなら、この左辺を完全微分形にできないか
という観点から、u = x/y と置くことに気がつくこともあるでしょう。
両辺を (y^2)dy で割って、du/dy = 1 + u^2 と変形できるからです。
u = tan(y) + (積分定数) ですね。

「解答例」には、少し間違いがあるようです。

お礼

助かりました。ありがとうございます。