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質問

(1)半径1の球が正四面体のすべての面に接している時、この正四面体の一辺の長さを求めよ。
(2)半径1の球が正四面体のすべての辺に接している時、この正四面体の一辺の長さを求めよ。

回答No.1

akinomyoga

正四面体をA-BCDとします。Aから底面BCDにおろした垂線の足をHとします。BCの中点をMとします。正四面体の中心をOとします。正四面体の一辺の長さをaとします。各面の面積をSとします。(図を書いてみてくださいね)

まずは正四面体の高さAHを求めます:
　AM = (√3/2) a,
　MH = (1/3) MC = (√3/6) a,
　AH = √(AM² - MH²) = (√6/3) a,
正四面体の体積は以下の2通りで求められます:
　正四面体ABCD = 三角錐OABC + 三角錐OACD + 三角錐OADB + 三角錐OBCD.
　(左辺) = (1/3) 底面×高さ = (1/3) S・(√6/3) a = (√6/9)Sa,
　(右辺) = 4×(1/3)S・OH = (4/3)S・OH.
よって (左辺) = (右辺) より OH = (1/2√6) a. さらに OM は、
　OM = √(MH² + OH²) = (1/2√2) a.

★(1) の場合 OH = (1/2√6) a = 1 より a = 2√6.
★(2) の場合 OM = (1/2√2) a = 1 より a = 2√2.