正四面体と球 （東京大）

質問

（問題）
正四角錐Ｖに対し、その底面上に中心を持ち、そのすべての辺と接する球がある。底面の１辺の長さをａとするとき、Ｖの高さを求めよ。　（東京大）

（解）
Ｖの頂点をＰ、底面をＡＢＣＤとし、対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとする。
球の中心は底面上にあり、正方形ＡＢＣＤのすべての辺と接するから、球の中心はＯで、半径はａ/2である。

次に、平面ＰＡＣによる切り口を考えると、球が辺ＰＡと接するから
辺ＡＤが球と接する点をＭ、辺ＰＡが球と接する点をＮとすると、△ＡＯＭと△ＡＯＮは合同である。

よって∠ＰＡＯ＝４５°
Ｖの高さはＰＯ＝ＡＯ＝（√２/２）ａ

これは参考書に載っていた東大の入試問題です。
解けずに回答を見たところ、「Ｖの頂点をＰ～半径はａ/2である。」のところまでは理解できたのですが、それ以降が分かりません。

なぜ球が辺ＰＡと接するから△ＡＯＭと△ＡＯＮは合同？
なぜ∠ＰＡＯ＝４５°？
なぜＶの高さはＰＯ＝ＡＯ＝（√２/２）ａ？

詳しい解説をお願いします。

回答No.1

debut

△ＡＯＭと△ＡＯＮで、
ＯＭ＝ＯＮ（球の半径）
ＡＯ＝ＡＯ
∠ＡＭＯ＝∠ＡＮＯ＝90°
よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので合同です。
次に、ＯＭ＝ＡＭ＝a/2なので、△ＡＯＭは直角二等辺三角形
よって、∠ＯＡＭ＝45°＝∠ＯＡＮ(∠ＰＡＯ）
そして、∠ＡＯＮ＝45°＝∠ＰＯＮ、しかも∠ＰＮＯ＝90°
なので、△ＰＮＯも直角二等辺三角形です。
よって、ＡＯ＝ＰＯ＝（√２/２）ａ　（１：１：√２から）です。