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高校数学の球の問題 3-18（再）の解説
- 高校数学の球の問題 3-18（再）について解説します。
- 問題では、一辺の長さが1の正四面体の内部に接する2つの球P,Qの半径を求めることが求められています。
- 解説では、正四面体をOABCとおき、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH,BCの中点をMとすることで、球P,Qと△OBCとの関係を説明しています。
- arutemawepon
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> 有難うございます、3角形の角度を用いての方法もよいと思うのですが、パッと分からないと使えないと思うので、宜しければ感覚というか図形を見て分かる方法はないですか、 > 例えばOHがA,B,Cからの距離が等しくなかったら三平方の定理でOA=OB=OCが成立しなくなるのでHはABCから等距離にあると言ったような感じで 先に書いたのは適当に思い付いた一例に過ぎませんので、別に何でも好きな方法を使えばよいです。 三平方の定理を使うならば、 (1) 点Rから辺BCに降ろした垂線の足をM[R]とする。 (2) OB = OC から HB = HC (∵⊿OBH, ⊿OCHについて三平方の定理), PB = PC (∵⊿PBH, ⊿PCHについて三平方の定理), RB = RC (∵⊿PBR, ⊿PCRについて三平方の定理), M[R]B = M[R]C (∵⊿RBM[R], ⊿RCM[R]について三平方の定理). よって M = M[R] である。 (3) 直線OM⊥BC, 直線RM[R]⊥BC (4) (2, 3) から 直線OM = 直線RM、つまり R はOM上にある■. (5) Qについても同様 ((1-4) に登場するP,RをそれぞれQ,Sに書き換えればそのまま成立する)、つまりSはOM上にある■ とかですかね。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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OM は三角形OBCを真横から見て線に見えているものですよね。 それと球が接しているとしたらどう見えるか 想像はつきませんか？
お礼
御返答有難うございます
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OMは平面OBC上の線分で平面OBCと球Pは接しているので、OMに接しているような見え方もあるような気がしますが、OAMを真正面から見たときですか？
- akinomyoga
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> まず図の断面ですが球P,Qは何故OMに接していると分かるのですか？ 要するに接点R, S が何故線分OM上にあるのかという事ですか。 (1) 点Hが△ABCの重心であるのと同様に、点Pから△ABCに降ろした垂線の足である点Rは△OBCの重心です。そして、△OBCの重心Rは線分OM上にあります。 (2) 点Qから降ろした垂線の足Sについても、 四面体OA'B'C' ( http://okwave.jp/qa/q8747147.html 回答No.4で導入した球Qに外接する小さい四面体) について同様に考えれば、S は線分OM' (但し、M' は B'C' の中点) 上にあると分かります。 (3) 更に、OABCM∽OA'B'C'M' より ∠BOM = ∠B'OM' なので直線OM'は直線OMと一致します。 (4) (2, 3)より S は線分OM 上にあると言えます。
お礼
御返答有難うございます
補足
有難うございます、3角形の角度を用いての方法もよいと思うのですが、パッと分からないと使えないと思うので、宜しければ感覚というか図形を見て分かる方法はないですか、 例えばOHがA,B,Cからの距離が等しくなかったら三平方の定理でOA=OB=OCが成立しなくなるのでHはABCから等距離にあると言ったような感じで
お礼
御返答有難うございます
補足
分かりました、有難うございました～、宜しければこのやり方でOH上にP,Qがある事もお願いできますでしょうか、是非宜しくお願いします